Robustness of Non-Orthogonal Time-Frequency Expansions

Zeit/Frequenz-Analysis findet Anwendung in der Analyse von Signalen, wie beispielsweise Audio-Signalen oder Bildern bzw. Bildfolgen. Zeit/Frequenz-Darstellungen solcher Signale können in erster Näherung mit der Notenschrift verglichen werden, die angibt, welche Frequenzen zu welcher Zeit (d.\,h., an welcher Stelle innerhalb der Melodie) in dem musikalischen Signal vorkommen. Die Grundform der Analyse ist dabei die sogenannte gefensterte Fouriertransformation (STFT, engl.: short-time Fourier transform), die angibt, welche Frequenz- Verteilung zu jedem Zeitpunkt vorliegt, wobei die Lokalisierung des Signals mit Hilfe eines (im Prinzip beliebigen) Fensters realisiert wird. Eine solche kontinuierliche Form der Frequenz-Verteilung ist in hohem Maße redundant, und es gilt das Prinzip, dass hinreichend dicht genommene Stichproben (Samples) ausreichend viel Information enthalten, um beliebige Signale exakt aus solchen Daten zu charakterisieren. Das sogenannte Balian-Low Prinzip besagt allerdings, dass es nicht möglich ist, minimale Dichte der Abtastung einer solchen STFT mit optimaler Zeit/Frequenz-Lokalisation zu verbinden. Konsequenterweise besteht eine der zentralen Fragen darin, in welcher Form diese beiden widerstrebenden Prinzipien zu vereinigen sind. Praktisches Interesse besteht beispielsweise daran, lokale Abschnitte einer Funktion nur mit Hilfe derjenigen Samples der STFT zurückzugewinnen, die diesem Abschnitt entsprechen. Das mathematische Modell für die besprochene Situation sind sogenannte Gabor frames. Das Ziel des vorliegenden Projektes besteht im Prinzip darin, zu zeigen, dass (auch sogenannte irreguläre) Gabor frames in hohem Maße stabil bzw. robust sind. Beispielsweise können lokale Deformationen der Bausteine die grundlegenden Eigenschaften eines solchen Systems nicht zerstören. Ebenso wird es möglich sein, einige der Elemente eines solchen redundanten Systems zu entfernen, ohne die Vollständigkeit der Information und die numerische Stabilität der Rekonstruktion in Frage zu stellen.