Arithmetik semilokaler Integritätsbereiche

Sei mit N = {1,2,3,...} die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet. Es ist ein altbekanntes Resultat der elementaren Zahlentheorie, daß sich jede (von 1 verschiedene) natürliche Zahl z als Produkt von Primzahlen darstellen läßt und daß diese Darstellung (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig ist. Die übliche Definition von "Primzahl" ist die folgende: Eine natürliche Zahl p heißt Primzahl, wenn p ungleich 1 ist und wenn 1 und p die einzigen Teiler von p sind. Dies bedeutet, daß sich p nicht weiter in ein (nichttriviales) Produkt von natürlichen Zahlen zerlegen läßt. Im folgenden werden Zahlen p mit dieser Eigenschaft daher nicht als "prim", sondern als "irreduzibel" bezeichnet. Eine Darstellung eines Elements z als ein Produkt von irreduziblen Elementen heißt Faktorisierung von z. Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie besagt also, daß jede von 1 verschiedene ganze Zahl eine Faktorisierung besitzt und daß diese eindeutig bestimmt ist. Obige Definition von "irreduzibel" ist in viel allgemeineren algebraischen Strukturen sinnvoll als nur in den natürlichen Zahlen: Man kann sie überallhin übertragen, wo es eine "Multiplikation" gibt und man daher von "Teilern" sprechen kann. Insbesondere ist dies für Mengen möglich, auf denen eine Addition und eine Multiplikation erklärt ist, die ähnlichen Regeln wie jenen in Z = {...,-2,-1,0,1,2,...} gehorchen (sog. Ringen). Man stellt fest, daß eine große Anzahl von interessanten Ringen R (aus Zahlentheorie, algebraischer Geometrie,...) atomisch sind, d.h. alle Elemente von R besitzen Faktorisierungen in irreduzible Elemente. Man stellt aber weiters fest, daß diese Faktorisierungen nur in den wenigsten Fällen eindeutig sind: Im allgemeinen besitzt ein und dasselbe Element viele verschiedene Faktorisierungen. Das Programm der Faktorisierungstheorie besteht darin, diese "Nichteindeutigkeit" für eine möglichst große Klasse von Ringen zu untersuchen und zu quantifizieren. Die hierfür eingesetzten Methoden sind sehr vielfältig. Sie reichen von kommutativer Algebra, Idealtheorie, Halbgruppentheorie, Kombinatorik, additiver Zahlentheorie, Gruppentheorie und algebraischer Geometrie bis zu analytischen Methoden. Um arithmetische Untersuchungen durchführen zu können, bedarf es umfangreicher algebraischer Kenntnisse der betreffenden mathematischen Objekte. Diese zu erwerben, erfordert einen beträchtlichen Teil der Forschungsarbeit. Die hierbei gewonnenen Ergebnisse sind aber nicht nur für die Faktorisierungstheorie interessant: Sie führen grundsätzlich zu einem besseren mathematischen Verständnis der betreffenden Strukturen.