Diskrete geometrische Strukturen für Freiformarchitektur

Der Trend zu Freiformstrukturen in der zeitgenössischen Architektur wirft zahlreiche anspruchsvolle Forschungsprobleme auf, von denen die meisten mit der eigentlichen Baukonstruktion zusammenhängen und mathematischer Natur sind. Das vorliegende Projekt greift jene grundlegenden Fragestellungen auf, die nicht von Spezialisten in der Architekturpraxis und auch nicht innerhalb von anwendungsorientierten Forschungsprojekten behandelt werden können. Während die Motivation aus der Architektur kommt, konzentrieren wir uns auf Themen, die auch aus rein mathematischer Sicht ein besonderes Interesse verdienen. Die bisherige Forschung über diskrete Strukturen, welche durch die Architektur motiviert sind, wurde stark von unseren eigenen Beiträgen beeinflusst. Hier sind vor allem die Arbeiten über Vierecksnetze mit ebenen Maschen, Netze mit Offset-Eigenschaften und damit in Verbindung stehende geometrisch optimierte Tragstrukturen, Mehrschichtkonstruktionen, sowie Hüllen aus einfach gekrümmten Paneelen beruhend auf semi-diskreten Darstellungen zu nennen. Die wissenschaftlichen Grundlagen dieser Vorarbeiten sowie der geplanten Arbeiten liegen in der diskreten Differentialgeometrie, der konformen Geometrie, der Geometrie der Gewebe und in anderen Gebieten der klassischen Geometrie. Das vorliegende Projekt wird in enger Kooperation mit laufenden anwendungsorientierten Projekten durchgeführt werden und von den Fortschritten in der Geometrischen Datenverarbeitung profitieren. Als Hauptforschungsrichtungen sind geplant: Diskrete Gewebe. Drei Kurvenscharen, die eine topologische Abbildung auf drei Büschel paralleler Geraden in der Ebene gestatten, nennt man ein Sechseckgewebe. Wir wollen jene diskreten Sechseckgewebe studieren, welche von Familien glatter oder diskreter Kurven mit speziellen Eigenschaften (z.B. eben, geodätisch, Krümmungslinie, usw.) gebildet werden. Dies hat bemerkenswerte Anwendungen in der Architektur, ist aber ein schwieriges Problem. So ist z.B. die Frage nach allen Sechseckgeweben aus Kreisen in der Ebene oder auf der Kugel noch nicht vollständig gelöst, was andeutet, das nichttriviale Sechseckgewebe aus ebenen Kurven auf allgemeinen Flächen nicht leicht zu finden sind. Wir werden konstruktive Verfahren studieren und erwarten Hinweise auf die richtigen Vermutungen aus numerischen Berechnungen. Evolution wichtiger Klassen von Netzen. Unter einer Evolution verstehen wir die Einbettung eines Netzes in eine diskrete oder stetige Familie von Netzen derselben Klasse. Insbesondere interessieren uns hier Vierecksnetze mit ebenen Maschen, konische und zirkuläre Netze sowie Kreispackungsnetze. Dies hat Anwendungen im Design solcher Netze. Durch die Architektur motivierte diskrete 3D Strukturen. Bislang beschränkte sich die enge Verbindung von diskreter Differentialgeometrie und Freiformarchitektur auf Flächen. Nun sollen echte 3D Strukturen studiert werden, wobei sich Querverbindungen zu den beiden vorigen Themenkreisen ergeben.

Ein Trend in der modernen Architektur sind organische geometrische Formen. Um solche Formen baubar zu machen, müssen sie an die Anforderungen im Bauwesen angepasst werden. Dazu zählen eine optimierte Zerlegung gekrümmter Fassaden in möglichst einfach herzustellende Paneele, die Berechnung einer geometrisch und statisch optimierten Tragstruktur, die Reduktion der Zahl verschiedener Teile und die Minimierung des Materialaufwands. Die Gliederung einer komplizierten geometrischen Form in einzelne einfache Teile führt in ein modernes Teilgebiet der Mathematik, nämlich die Diskrete Differentialgeometrie. Es ist bemerkenswert, dass Anforderungen im Bauwesen Anlass zur Entwicklung neuer mathematischer Konzepte gegeben haben. Im vorliegenden Projekt wurden diese Zusammenhänge vertieft und erweitert. Unter anderem ist es gelungen, ein neues Verfahren zur geometrischen Modellierung einer in Paneele eingeteilten Form zu entwickeln, welche gleichzeitig eine Optimierung des Tragverhaltens vornimmt, Nebenbedingungen aus der Fertigung erfüllt und den ästhetischen Ansprüchen gerecht wird. Der Anwendungsbereich dieser Methoden ist nicht auf die Architektur beschränkt. Die Arbeiten stellen einen wichtigen Schritt zur Entwicklung neuer intelligenter Design-Software dar. Diese soll den Designer beim Entwurf der geometrischen Form so leiten, dass wichtige Nebenbedingungen im Zusammenhang mit der Funktion, Stabilität und Fertigung erfüllt sind. Es war auch ein Ziel des Projekts die mathematischen Grundlagen weiterzuentwickeln. Hier sind Konstruktionen von Flächen mit speziellem Krümmungsverhalten aus ebenen Vierecken oder abwickelbaren Flächenstreifen zu nennen, ebenso wie der Aufbau glatter gekrümmter Flächen aus einfachen Teilen. Hier liegt das Hauptinteresse in der Theorie, es ist aber durchaus möglich, dass solche Strukturen als Architektur umgesetzt werden.