Semidiskrete Flächen

Semidiskrete Flächen beinhalten das gesamte Spektrum von glatten Funktionen von diskreten und reellen Variablen, mit dem rein diskreten und rein glatten Fall als Extremfällen. Man kann diese Objekte als Limites einer rein diskreten Theorie sehen, welche letztere bemerkenswerte Verbindungen zu Inzidenzgeometrie und zu integrablen Systemen besitzt. Sie treten bereits in der klassischen Transformationstheorie der Flächen auf, aber die niedrigdimensionalen Fälle von Abbildungen einer diskreten und einer reellen Variablen erregten Interesse anlässlich von Anwendungen in der Freiformarchitektur. Sie verdienen ein eingehendes Studium und haben auch ein großes Potential für Anwendungen. In diesem Projekt geht es uns um die semidiskreten Manifestationen von Minimal- und cmc-Flächen, ihre Transformationen, Isometrien, und Anwendungen. Semidiskrete Flächen in unserem Sinn traten zum ersten Mal anlässlich der Problemstellung auf, Flächen durch einfach gekrümmte Streifen zu approximieren. Von einem höheren Standpunkt aus gesehen handelt es sich dabei um konjugierte semidiskrete Flächen, sowie um ihre zirkulären und konischen Reduktionen. Auch die A-Flächen mit (in einem gewissen Sinn) asymptotischen Parameterlinien sind in Anwendungen bereits aufgetreten. Das erfolgreiche Prinzip einer rein diskreten Über-Theorie (vgl. die jüngste Monographie von Bobenko und Suris) erlaubt es, eine semidiskrete Fläche als Limes von diskreten Objekten zu sehen. Dieser Grenzübergang liefert in der Tat gute Hinweise auf Eigenschaften semidiskreter Flächen. Diese besitzt jedoch auch Eigenschaften, die sie dem Vorhandensein von beiden Typen von Argumenten (diskret und kontinulierlich) verdanken. Wir haben bereits die A-Flächen und den Spezialfall der K-Flächen mit konstanter Gausskrümmung studiert: Einige Begriffe sind analog zum diskreten Fall, wie Begleitbasen und die dazugehörigen sinus-Gordon- und Hirota- Gleichungen, manche jedoch nicht: Nachdem eine Gausskrümmung bereits für A-Flächen definierbar ist, wird die übliche Definition von K-Flächen als Tschebyscheff-Netze zu einem Satz. Andere Untersuchungen betreffen zum Beispiel die inzidenz-geometrischen Charakterisierungen von Flächenklassen, die auch im semidiskreten Fall vorhanden sind. Das Ziele dieses Projekts ist das Studium der folgenden Themenbereiche: *) Krümmungen, Minimal- und cmc-Flächen: Die jüngst entstandene Krümmungstheorie für diskrete Flächen, die auf einem "parallelen Gaussbild" beruht, lässt sich erweitern. Besonders interessant sind Situationen wo dieses Gaussbild bereits durch die ursprüngliche Fläche bestimmt ist, wie z.B. für konische Flächen. *) Traansformationen: Überraschenderweise ist dieses klassiche Konzept in Anwendungen in der Freiformarchitektur aufgetaucht. Wir möchten es weiter studieren. Hier spielen geeignete Limites von diskreten integrablen Systemen eine Rolle. *) Beweglichkeit: Dieses grosse und wahrscheinlich schwierige Feld ist eines, wo das Verhalten von glatten und diskreten Flächen nicht übereinstimmt. Ungelöste Probleme sind die semidiskrete Version von Bianchis Starrheitsbedingung, und (infinitesimale) Isometrien von konjugierten Flächen, wofür im konvexen Fall die Flächentheorie von Pogorelov Anhaltspunkte liefert. *) Anwendungen. Die Optimierungsprobleme für diskrete und semidiskrete Flächen, die uns in der Vergangenheit untergekommen sind, sind meist numerisch unschön und Konvergenz der entsprechenden nichtlinearen numerischen Verfahren kann nur für eine sehr gute Initialisierung erwartet werden. Hier sind geometrisches Wissen und ganz besonderes die Analogien zwischen verschiedenen Kategorien von Flächen wichtig.

Dieses Projekt ist ein Teil des überregionalen SFB-Transregio-Projekts Diskretisierung in Geometrie und Dynamik, das von der Deutschen Forschungsgemeinschaft und dem österreichischen FWF gefördert wird. Untersuchungsgegenstand sind semidiskrete Flächen, das sind Flächen, deren Parametrisierung sowohl diskrete als auch kontinuierliche Parameter verwendet. Solche gemischten Objekte gibt es seit der Entwicklung der Transformationstheorie der glatten Flächen im 19. Jahrhundert; in der neueren systematischen Sicht der parametrischen Flächen vom Standpunkt der integrablen Systeme aus werden sie genauso wie die glatten Flächen als ein Grenzfall der diskreten Theorie angesehen. Interessanterweise hat der zweidimensionalen Fall, mit einem kontinuierlichen und einem diskreten Parameter, eine reiche Struktur und verdient eingehende Beschäftigung. Im Rahmen dieses Projekt haben wir Begriffe der klassischen Differentialgeometrie und ihre Erweiterung auf semidiskrete Flächen betrachtet, wobei wir auf die sich rasch entwickelnden neueren Ergebnisse zu diskreten Flächen aufbauen konnten. Wir waren besonders interessiert am Laplace-Beltrami-Operator und einer Krümmungstheorie auf Basis der sogenannten Steiner-Formel. Ein schönes Resultat betrifft die Konstruktion von Flächen konstanter mittlerer Krümmung und ihrer assoziierten Familien. Anwendung finden semidiskreten Flächen beispielsweise in der Freiformarchitektur, und es gibt einige Fälle von gegenseitiger Befruchtung von mathematischer Theorie und konkreten Problemstellungen bei der Fertigung von freien Formen. In diesem Zusammenhang haben wir die Geometrie von Abschattungssystemen untersucht und den Entwurf von gekrümmten Tragstrukturen analysiert. Wir arbeiteten auch in der numerischen Differentialgeometrie bzw. der geometrischen Datenverarbeitung, wo man einen erfolgreichen Zugang zum interaktiven Modellieren mit abwickelbaren Flächen und Faltstrukturen hervorheben kann.