Automorphismen nilpotenter Gruppen & geometrische Strukturen

Dieses Projekt mit dem Titel "Automorphismen nilpotenter Gruppen und geometrische Strukturen" hat das Ziel, ein umfangreiches und grundlegendes Studium von Automorphismengruppen (virtueller) nilpotenter Gruppen zu beginnen. Diese Automorphismengruppen treten in vielen aktuellen Problemen der Geometrie und Topologie auf (etwa im Studium von Nilmannigfaltigkeiten und Infra-Nilmannigfaltigkeiten, Spektralgeometrie Riemannscher Mannigfaltigkeiten und Nielsen Fixpunkt-Theorie). Sehr oft kann man solche Probleme auf das Studium gewisser Eigenschaften von Automorphismengruppen reduzieren. Dann werden für gewöhnlich einige ad hoc Methoden angewandt, um das spezifische Problem zu lösen. Das Innovative unseres Projektes ist es nun, einen allgemeinen Ansatz zu entwickeln (den es bisher nicht gibt), und ein allgemeines Studium der Automorphismengruppe selbst zu beginnen. Wir möchten verschiedenste strukturelle Aspekte der Automrophismengruppe entwickeln, und genügend effektive algorithmische Methoden, die dann erfolgreich in einem sehr breitem Rahmen geometrischer und topologischer Fragestellungen angewendet werden können - von uns, aber auch von anderen Forschern. Was die Methoden anbetrifft, so werden wir viele gruppentheoretische Methoden verwenden, aber auch die Theorie polynomialer Funktoren, sowie gewisse Eigenwert-Techniken. In der Tat, gewisse Eigenschaften der Eigenwerte von Automorphismen, die dort auftreten, liefern wertvolle Information für Anwendungen in der Fixpunkt-Theorie, expandierenden Abbildungen, Anosov Diffeomerphismen, und für die algebraische Struktur der Automorphismengruppe selbst.

Dieses Projekt gehört zur Grundlagenforschung im Bereich Algebra und Geometrie. Insbesondere geht es um Verbindungen zwischen diesen beiden Gebieten. Wenn man an Geometrie denkt, so fallen einem vermutlich zuerst Begriffe wie Gerade, Kreis, Würfel, Sphäre, Kurve, Fläche und so weiter ein. Wenn man mit diesen Dingen mathematisch arbeiten will, muss man in der Lage sein, sie sehr exakt zu beschreiben, so dass man ihre Interaktionen und Eigenschaften verstehen und berechnen kann. Es stellt sich heraus, dass man dazu alleine mit geometrischen Werkzeugen nicht in der Lage ist. Berechnungen mit Geraden, Kreisen, Ellipsen als geometrische Objekte für sich genommen erscheinen unmöglich. Um dieses Hinderniss zu überwinden, hat man versucht, algebraische Systeme einzuführen, mit denen man die geometrischen Fragen in berechenbare Fragen übersetzen kann. Das bekannteste Beispiel dazu ist die Einführung eines Koordinatensystems. So kann man jeden Punkt in der Ebene durch zwei Koordinaten, also Zahlen beschreiben, der horizontalen und der vertikalen Position, und damit Geraden, Kreise, Ellipsen und so weiter durch algebraische Gleichungen beschreiben und berechnen. Das geht auch im Raum, oder ganz abstrakt in jeder Dimension. Natürlich kann man noch viel weiter gehen, als nur ein Koordinatensystem einzuführen, wo man mit Zahlen rechnen kann. In unserem Projekt werden dazu nicht nur Zahlen, sondern auch Gruppen und Algebren verwendet. Das sind kompliziertere Strukturen, die aber sehr gut dazu geeignet sind, um geometrische Probleme exakt zu beschreiben und algebraisch berechenbar zu machen. Dazu werden auch Abbildungen studiert, die die Struktur erhalten. Das bezieht sich zum Beispiel auf das Wort ``Automorphismen'' aus dem Titel. Wir wollen in unserem Projekt geometrische und algebraische Strukturen untersuchen, inbesondere Lie Gruppen und Lie Algebren, die nach dem Norweger Sophus Lie benannt sind. Das Ziel ist es, fundamentale Einsichten über geometrische Zusammenhünge zu erhalten, durch das Studium der entsprechenden algebraischen Strukturen.