Filter, Ultrafilter und Verbindungen mit Forcing

Der Fokus des Projekts liegt auf Forschung in Mengenlehre und Grundlagen der Mathematik, insbesondere in der kombinatorischen Mengenlehre und der Forcing-Methode. Geplant sind Untersuchungen von neuen Methoden, um Ultrafilter zu konstruieren. Ultrafilter sind komplizierte kombinatorische Objekte, die in vielen Gebieten der Mathematik auftauchen. Grob gesprochen, erlaubt es ein Ultrafilter, große und kleine unendliche Mengen zu unterscheiden. Um solche Objekte (mit zusätzlichen speziellen Eigenschaften) zu finden, braucht man oft komplizierte Methoden und aufwändige Argumente; es gibt noch viele offene Fragen, und unser Verständnis dieser Objekte ist noch lange nicht erschöpfend. In diesem Projekt werden wir versuchen, mehrere dieser Fragen zu beantworten, indem wir Methoden aus der Theorie des Forcing, aus der Topologie und aus der unendlichen Kombinatorik anwenden. Man weiß, dass die bekannten Methoden keine vollständigen Antworten liefern können; wir werden daher neue Zugänge finden müssen. Insbesondere werden wir neue so genannte Erhaltungssätze für Forcing-Erweiterungen zu finden versuchen, sowie neue Karo-artige Konstruktionen.

Kurzfassung: Wir haben (wie das in der Mengenlehre oft vorkommt) "Lücken" in der Mathematik der unendlichen Mengen entdeckt; genauer: bewiesen, dass gewisse mathematische Aussagen unbeweisbar und unwiderlegbar sind. Detaillierter: Mengenlehre, ein Teilgebiet der mathematischen Logik, befasst sich mit der Untersuchung von unendlichen Mengen. "Filter" (und insbesondere eine spezielle Art von Filtern, die "Ultrafilter") sind nützliche Hilfsmittel in diesen Untersuchungen, und auch selbst Gegenstand solcher Untersuchungen. Für endliche Mengen S gibt es verschiedene Varianten der Begriffe "viele/wenige Elemente von S haben eine gewisse Eigenschaft", so wie etwa die minimale Variante "Mehrheit/Minderheit" = mehr/weniger als 50%, die stärkere "mehr als 2/3" / "weniger als 1/3", und die extreme Variante "alle/keines". Zum Beispiel könnte man als Menge die Menge der Mitglieder eine Kommission betrachten, und die Eigenschaft "hat Meinung X" oder "stimmt für Y". Dieses Beispiel führt auch zu weiteren Varianten, wo zum Beispiel verschiedene Mitglieder verschiedene Stimmrechte haben, oder nur einstimmige Ergebnisse gelten. In der Mengenlehre betrachten wir solche Begriffe von "Mehrheit/Minderheit", "viele/wenige", "groß/klein" auch für unendliche Mengen, und es stellt sich heraus, dass es solche Begriffe mit der zusätzlichen Eigenschaft gibt, dass die Vereinigung von zwei kleinen Mengen (oder "Minderheiten") selbst wieder klein ist, was im endlichen Fall nicht gilt. Der mathematische Begriff des "Filters" formalisiert diese Eigenschaft. In diesem Projekt betrachten wir Eigenschaften von solchen "Filtern". Nach Kurt Gödels berühmten Unvollständigkeitssatz reichen die üblichen Axiome der Mathematik ode der Mengenlehre nicht aus, um alle Fragen in der Mathematik zu beantworten. Es stellt sich heraus, dass es auch sehr einfache Fragen über Filter gibt (wie etwa "Gibt es p-Punkte?" oder die detailliertere Version "Folgt die Existenz von p-Punkten aus der Aussage, dass es viele verschiedene Kardinalitäten von unendlichen Teilmengen der reellen Zahlen gibt?"), die von den Axiomen nicht entschieden werden, das heißt: man kann ein mathematisches Universum konstruieren, wo die Antwort "ja" ist, und ein weiteres, wo sie "nein" ist.