Persistenz und Stabilität von geometrischen Komplexen

Das Thema gehoert zum allgemeinen Gebiet der Computer-Topologie, und genauer zu einem Spezialteilbereich das unter dem Namen Persistente Homologie bekannt geworden ist. Aufbauend auf juengsten Resultaten der zwei Autoren, beschreibt das Project Erweiterungen und Verbesserungen von bekannten Errungenschaften. A. Wir schlagen vor Delaunay Triangulierungen von Poisson Punktprozessen stochastisch zu analysieren. B. Wir zielen auf die Verallgemeinerung des Staetigkeitsbeweises der modifizierten Crofton Formul fuer intrinsische Volumen ab. C. Wir entwickeln die topologische Datenanalyse fuer Bregmen Divergenzen und analysieren ihre Stabilitaet. D. Wir untersuchen schuetteren Komplexe die die Persistenz der standard Distanzfunctionen erhalten oder annaehern. E. Wir verwenden die diskrete Morse Theorie von Cech und Delaunay Komplexen zur Loesung von punktweise gegebenen dynamischen Systemen. Jedes Problem benoetigt seine eigenen Methoden, jedoch werden Loesungen eines Problem nuetzlich zur Untersuchung der anderen sein. Allen gemein ist die Verbindung zur diskrete Morse Theorie, die vor etwa 20 Jahren von Robin Forman entwickelt wurde. Die Summe der erwarteten positive Resultate ergibt eine diskrete Theorie mit Bruecken zwischen mathematischen Gebieten die heute noch als unabhaengig voneinander gelten. Die Entwicklung dieser Theorie wird von Anwendungen ihrer Resultate in der Datenanalyse motiviert.

Dieses Projekt has zwei signifikante Resultate erbracht. Zum ersten zeigen wir, dass es moeglich ist geometrische Formen abhaengig von den potentiellen Lockstrukturen zu rekonstuieren. Zum anderen berechnen wir eine Reihe von erwarteten Eigenschaften von Poisson--Delaunay Mosaiken zum ersten Mal. Topologische Anpassung bei der Rekonstruktion heisst dass der Algorithmus von der potentiellen Lochstruktur geleitet wird. Bei der Rekonstruktion ohne eine solche Anpassung erzeugen wir eine default Lockstruktur die sich aus lokalen Messungen von Distanzen ergibt. Es koennte aber konkurrierende Interessen geben, wie zum Beispiel die Funktionalitaet eines Proteins das Ionen durch eine Zellwand transportiert. Zwei verschiedene Lockstrukturen koennen aber nicht oder nur teilweise gleichzeitig realisiert werden. Der Kern der topologischen Anpassung liegt daher in einer organisierten Aufbereitung der Abhaengigkeiten zwischen verschiedenen Moeglichkeiten. Ein Poisson-Punkt-Prozess ist eine Methode zufaellig Punkt in einem Raum ohne Voreingenommenheit zu erzeugen. Dieser Raum kann auch unendlich sein, wie zum Beispied die euklidische Ebene. Ein Poisson--Delaunay Mosaik ist das Delaunay Mosaik von solchen zufaellig erzeugten Punkten. Ein interessantes Faktum ist dass in einem solchen Mosaik eine erwartete Haelfte der Dreiecke spitzwinkelig und die andere Haelfte stumpfwinkelig ist. Das ist kein neues Ergebnis, es ist aber repraesentativ fuer die vielen analytischen Resultate zum Thema Poisson--Delaunay Mosaik in diesem Projekt. Im schrittweisen und von der Radius Funktion geleitendem Aufbau des Mosaiks sind die spitzwinkeligen Dreiecke kritisch und die stumpfwinkeligen Dreiecke nicht-kritisch. Die erwartete Anzahl von spitzwinkeligen Dreiecken informiert uns daher darueber wie oft sich der Homotopie Typ des Mosaiks waehrend des schrittweisen Aufbaus aendert.