Diskrete geometrische Strukturen motiviert durch Anwendungen und Architektur

Während der letzten 10 Jahre stellte sich der Entwurf und die Realisierung von feien Formen in der Architektur als ein neues Gebiet von Anwendungen bzw. Inspiration für Grundlagenforschung in Geometrie, insbesondere diskreter Differentialgeometrie, heraus. Dieses Gebiet kombiniert reine Mathematik auf interdisziplinäre Weise mit algorithmischen Aspekten. Man muss es auch in dem breiteren Kontext des Algorithmischen Design sehen, das den ursprünglich auf Architektur fokussierten Blick auf Anwendungen in den Ingenieurswissenschaften, der Informatik und den Künsten erweitert. Dieses Forschungsprojekt ist in den SFB-Transregio "Diskretisierung in Geometrie und Dynamik" eingebettet und wird als eine Kooperation von TU Berlin, TU Graz und TU Wien durchgeführt. Wir haben drei Themen von großem aktuellem Interesse identifiziert: Das erste sind glatte Erweiterungen von diskreten Flächen - eine Problemstellung, die direkt mit dem Panelisierungsproblem aus der Freiformarchitektur zusammenhängt. Vom Standpunkt der Mathematik verbindet sie Geometrie mit integrablen Systemen. Unser Ziel ist dabei die systematische Charakterisierung der glatten Flächen in der Erweiterung durch die Struktur des zugrundeliegenden diskreten Netzes. Das zweite Thema sind gekrümmte Faltstrukturen, die an vielen Orten auftreten - von Origami über Architektur zu Packungsaufgaben von Sonnensegeln bei Satelliten. Wir erweitern hier frühere Arbeiten über semidiskrete Flächen und über nichtglatte polyhedrale Muster, genauso wie Arbeiten über bewegliche Strukturen. Unser Ziel ist ein grundlegendes Verständnis der Formen von Flächen (und von Arrangements von Flächen), die durch Falten entlang von Kurven entstehen, und vor allem das Lösen des dazugehörigen Approximations- und Modellierungsproblems. Drittens planen wir, Statik und Kräfte im Rahmen des geometrischen Modellierens zu untersuchen. Dabei gehen wir über die selbstverständlich hohe Relevanz der Statik für Architektur hinaus und interessieren uns für die Zusammenhänge zwischen der diskreten Differentialgeometrie und selbsttragenden Flächen. Die Anfänge dieser Thematik liegen in der graphischen Statik des 19. Jahrhunderts. Unser Ziel ist es, Einsichten zu gewinnen, die wertvoll für die Analyse des Tragverhaltens sind und für Approximation und Modellierung Verwendung finden können ebenso wie für Topologieoptimierung. Diese drei Themen sind einerseits verbunden durch ihre Einbettung in die diskrete Differentialgeometrie, und andererseits durch unseren Schwerpunkt auf Algorithmen und Design. Die Nichtlinearität von Nebenbedingungen macht das interaktive Modellieren von derartigen Strukturen eine Herausforderung, und erst jüngst wurden erste Fortschritte erzielt. Dieses Forschungsprojekt dient damit auch dem langfristigen Ziel, Anwendern "intelligente" Werkzeuge zur Verfügung zu stellen, die nichttriviale geometrische Nebenbedingungen mit statischen Überlegungen so schnell kombinieren können, dass interaktives Arbeiten möglich wird.

Während der letzten 10 Jahre stellte sich der Entwurf und die Realisierung von feien Formen in der Architektur als ein neues Gebiet von Anwendungen bzw. Inspiration für Grundlagenforschung in Geometrie, insbesondere diskreter Differentialgeometrie, heraus. Dieses Gebiet kombiniert reine Mathematik auf interdisziplinäre Weise mitalgorithmischen Aspekten. Man muss es auch in dem breiteren Kontext des Algorithmischen Design sehen, das den ursprünglich auf Architektur fokussierten Blick auf Anwendungen in den Ingenieurswissenschaften, der Informatik und den Künsten erweitert. Dieses Forschungsprojekt war in den SFB-Transregio "Diskretisierung in Geometrie und Dynamik" eingebettet und wurde als eine Kooperation von TU Berlin, TU Graz und TU Wien durchgeführt. Wir haben drei Themen von großem aktuellem Interesse bearbeitet: Das erste sind glatte Erweiterungen von diskreten Flächen - eine Problemstellung, die direkt mit dem Panelisierungsproblem aus der Freiformarchitektur zusammenhängt. Vom Standpunkt der Mathematik verbindet sie Geometrie mit integrablen Systemen. Dabei geht es um die systematische Charakterisierung der glatten Flächen in der Erweiterung durch die Struktur des zugrundeliegenden diskreten Netzes. Das zweite Thema sind gekrümmte Faltstrukturen, die an vielen Orten auftreten - von Origami über Architektur zu Packungsaufgaben von Sonnensegeln bei Satelliten. Wir erweitern hier frühere Arbeiten über semidiskrete Flächen und über nichtglatte polyhedrale Muster, genauso wie Arbeiten über bewegliche Strukturen. Wir erhielten ein grundlegendes Verständnis der Formen von Flächen (und von Arrangements von Flächen), die durch Falten entlang von Kurven entstehen, und vor allem das Lösen des dazugehörigen Approximations- und Modellierungsproblems. Drittens haben wir Statik und Kräfte im Rahmen des geometrischen Modellierens untersucht. Dabei gehen wir über die selbstverständlich hohe Relevanz der Statik für Architektur hinaus und untersuchten die Zusammenhänge zwischen der diskreten Differentialgeometrie und selbsttragenden Flächen. Die Anfänge dieser Thematik liegen in der graphischen Statik des 19. Jahrhunderts. Wir gewannen Einsichten, die wertvoll für die Analyse des Tragverhaltens sind und für Approximation und Modellierung Verwendung finden können ebenso wie für Topologieoptimierung. Diese drei Themen sind einerseits verbunden durch ihre Einbettung in die diskrete Differentialgeometrie, und andererseits durch unseren Schwerpunkt auf Algorithmen und Design. Die Nichtlinearität von Nebenbedingungen macht das interaktive Modellieren von derartigen Strukturen eine Herausforderung, und erst jüngst wurden erste Fortschritte erzielt. Dieses Forschungsprojekt dient damit auch dem langfristigen Ziel, Anwendern "intelligente" Werkzeuge zur Verfügung zu stellen, die nichttriviale geometrische Nebenbedingungen mit statischen Überlegungen so schnell kombinieren können, dass interaktives Arbeiten möglich wird.