Wong Zakai Approximation von SDEs und SPDEs mit Levy Rauschen

Stochastische (Partielle) Differentialgleichungen werden seit Langem als Grundlage mathematischer Modelle herangezogen, die zur Beschreibung zahlloser Phänomene der realen Welt dienen. Es werden dabei Systeme betrachtet, deren Zustand und Verhalten nicht mit vollkommener Sicherheit bestimmt werden können. Zumeist modelliert man den Zufall mittels einer Brownschen Bewegung und stört damit eine deterministische Ausgangsgleichung. Tatsächlich ist diese Brownsche Bewegung selbst bloß die Idealisierung eines realen Prozesses. Davon motiviert betrachteten Wong und Zakai vor ca. 50 Jahren Lösungen von zufälligen gewöhnlichen Differentialgleichungen, die von glatten Annäherungen einer Brown`schen Bewegung angetrieben sind, und definierten die Lösung stochastischer Differentialgleichungen als Grenzwert dieser angenäherten Lösungen. Bei diesem Ansatz interpretiert man die Brownsche Bewegung als Idealisierung von kurzen, chaotisch verlaufenden und aneinandergereihten Bewegungen (Diffusion). Ebenso ist es möglich, Sprünge als eine Idealisierung eines an sich stetigen zufälligen Prozesses zu interpretieren, wenn dieser auf einer sehr feinen Zeitskala beobachtet wird. Sind keine Sprünge vorhanden, so erhält man beim Grenzübergang die Lösung einer stochastischen Differentialgleichung, die durch ein Stratonovich-Integral beschrieben wird. Bezieht man im Allgemeinen Sprünge ein, so erhält man die Lösung einer kanonischen (Marcus`schen) stochastischen Differentialgleichung. Motiviert durch verschiedene Anwendungen aus der Physik, der Strömungsdynamik und den Ingenieurswissenschaften werden wir zuerst die Wong-Zakai-Approximationen für stochastische (gewöhnliche) Differentialgleichungen mit Lévy-Rauschen betrachten und anschließend die Gültigkeit vergleichbarer Resultate für stochastische partielle Differentialgleichungen untersuchen. Das Ziel ist einerseits die genaue Konvergenzart zu analysieren und andererseits den Korrektur- Term der Grenzwertgleichung zu identifizieren. Konkret untersuchen wir die Advektions- Diffusionsgleichung, bei der das Geschwindigkeitsfeld durch ein Lévy-Rauschen gestört wird. Es kann als ein einfaches Modell der Turbulenz interpretiert werden. Dabei betrachten wir die Gleichung auf einem offenen oder beschränkten Gebiet. Im zweiten Fall liegt das Lévy-Rauschen auf dem Rand des Gebiets so lässt sich beispielsweise das sofortige Freisetzen eines Schadstoffes in ein Gewässer modellieren. Abschließend untersuchen wir, wie man mit Hilfe der Wong-Zakai-Approximation eine stochastische partielle Differentialgleichung numerisch unter Verwendung eines deterministischen Solvers (z.B. MATLAB oder OpenFOAM) löst. Die in diesem Projekt erzielten Ergebnisse werden zum tieferen Verständnis von stochastischen Differentialgleichungen mit Lévy-Rauschen beitragen, sowohl bei theoretischen Fragestellungen als auch im Hinblick auf die Modellierung zufälliger Phänomene in der Physik und anderen angewandten Disziplinen.

Stochastic Partial Differential equations are describing systems that are perturbed by a random process. In case one would like to model the stochastic system on a computer, one has to model the stochastic process. This can be done by different approaches, one approach is given by the Wong-Zakai approximation. Within the project, we investigated two different systems and showed that using the Wong-Zakai approximation, that the limit converges indeed to the correct equation.