Regularisierung und Diskretisierung von inversen Problemen für PDG in Banachräumen

Ziel dieses Projektes ist eine kombinierte Analysis der Regularisierung und Diskretisierung von schlecht gestellten Problemen in Banachräumen speziell im Kontext von partiellen Differentialgleichungen. Solche Probleme spielen eine wichtige Rolle in vielen Anwendungen von der Medizinischen Bildgebung über die zerstörungsfreie Materialprüfung bis zur geophysikalischen Sondierung. Der Banachraum-Rahmen wird dabei bedingt durch die inhärente Regularität der gesuchten Koeffizienten sowie struktureller Eigenschaften wie z.B. "sparsity". Unser Ziel ist es, die Lücke zu füllen zwischen der existierenden abstrakten Regularisierungstheorie in allgemeinen Banachräumen und der adaptiven Diskretisierung von korrekt gestellten punktweise beschränkten Optimalsteuerungsproblemen in Hilberträumen. Insbesondere sollen explizite Quellbedingungen und praktikable Parameterwahlregeln hergeleitet sowie adaptive Diskretisierungsverfahren basierend auf funktionalen und zielorientierten Fehlerschätzern entwickelt werden, die die gegenseitige Abhängigkeit von Regularisierungsparameter, Datenfehler, und Diskretisierungsfehler berücksichtigen. Dies wird zu einem umfassenden Zugang für die stabile und effiziente numerische Lösung von Parameteridentifizierungsproblemen in Banachräumen führen.

Ziel dieses Projektes ist eine kombinierte Analysis der Regularisierung und Diskretisierung von schlecht gestellten Problemen in Banachräumen speziell im Kontext von partiellen Differentialgleichungen. Solche Probleme spielen eine wichtige Rolle in vielen Anwendungen von der Medizinischen Bildgebung über die zerstörungsfreie Materialprüfung bis zur geophysikalischen Sondierung. Der Banachraum-Rahmen wird dabei bedingt durch die inhärente Regularität der gesuchten Koeffizienten sowie struktureller Eigenschaften wie z.B. "sparsity". Unser Ziel ist es, die Lücke zu füllen zwischen der existierenden abstrakten Regularisierungstheorie in allgemeinen Banachräumen und der adaptiven Diskretisierung von korrekt gestellten punktweise beschränkten Optimalsteuerungsproblemen in Hilberträumen. Insbesondere sollen explizite Quellbedingungen und praktikable Parameterwahlregeln hergeleitet sowie adaptive Diskretisierungsverfahren basierend auf funktionalen und zielorientierten Fehlerschätzern entwickelt werden, die die gegenseitige Abhängigkeit von Regularisierungsparameter, Datenfehler, und Diskretisierungsfehler berücksichtigen. Dies wird zu einem umfassenden Zugang für die stabile und effiziente numerische Lösung von Parameteridentifizierungsproblemen in Banachräumen führen.