Transformationen und Singularitäten

Transformationen von Flächen oder Hyperflächen ermöglichen es, neue (Familien von) Flächen oder Hyperflächen derselben Art aus bekannten zu konstruieren. Zum Beispiel: eine Isothermfläche erlaubt gewisse Transformationen in neue Isothermflächen. Dieses Konzept der Transformation ist weitreichend: Zum Beispiel kann man die (lokale) klassische Weierstrassdarstellung von Minimalflächen als einen Spezialfall der Goursattransformation für Isothermflächen auffassen. Transformationen erlauben also nicht nur die Konstruktion neuer Beispiele oder Beispielklassen, sondern in gewissen Fällen sogar die Konstruktion aller Flächen einer Klasse aus "einfachen" Anfangsdaten. Singularitäten sind, allgemein gesprochen, die "bösen Punkte" einer Theorie, also Punkte, an denen die Methoden der Theorie nicht greifen. Dies allein ist schon eine starke Motivation für das Studium von Singularitäten, da dies einen neuen Blick auf Methoden, Objekte und damit eine ganze Theorie erfordert. Überdies sind Singularitäten in der globalen (Hyper-)flächentheorie oft nicht vermeidbar: Bekannte Beispiele sind die Caratheodory Vermutung, dass jede (konvexe) Sphäre im Euklidischen Raum mindestens zwei Nabelpunkte besitzt, oder Hilberts Satz über die Nichtexistenz vollständiger pseudosphärischer Flächen im Euklidischen Raum. Das Hauptziel dieses Projekts ist das Studium der Zusammenhänge zwischen Transformationen und Singularitäten und, im besonderen: -- das Verhalten von Transformationen von Isothermflächen, Guichardflächen und konform flachen Hyperflächen an den singulären Punkten der Theorie besser zu verstehen; und -- wie diese Transformationen Singularitäten auf Flächen oder Hyperflächen erzeugen oder verschwinden lassen, und was die Natur der auftauchenden Singularitäten ist. Ein gutes Verständnis dieser zwei Aspekte des Zusammenspiels zwischen Transformationen und Singularitäten wird letztendlich zu globalen Transformationstheorien und natürlichen (globalen) Definitionen der betrachteten (Hyper-)flächenklassen führen. Die bilaterale Kooperation zwischen Forschungsgruppen in Japan und in Österreich ist ein Schlüssel zum Erfolg dieses Projekts: Wir werden Experten in den genannten Transformationstheorien und Integrablen Systemen (Österreich) und in der Singularitätentheorie von Flächen und globaler Flächentheorie (Japan) zusammenbringen; verschiedene Gesichtspunkte in der diskreten Differentialgeometrie in beiden Ländern werden für das Projekt wichtig und förderlich sein. Unsere Strategie ist dabei nicht nur die Zusammenarbeit von Spezialisten aus beiden Ländern, sondern wir legen starken Wert auf die Förderung junger Forscher und Doktoranden, um auf diese Weise eine zukunftorientierte und potentiell lang währende Zusammenarbeit in dem umrissenen Forschungsgebiet anzubahnen.

Eine Transformation transformiert ein (geometrisches) Objekt, z.B., eine Fläche oder Kurve, in ein neues Objekt gleicher Art: Sie kann zur Konstruktion einer neuen Fläche oder Kurve aus einer gegebenen dienen. Andererseits kann man mit Hilfe von Transformationen Folgen oder Netze von Kurven oder Flächen produzieren --- beispielsweise semi-diskrete Flächen als Folgen von Kurven. Gegenstand des Projekts waren Transformationen, die in bestimmter Weise die Geometrie der transformierten Flächen (oder Kurven) berücksichtigen. Schließt man triviale Transformationen aus (z.B., Verschiebungen), so erlauben nur spezielle Flächen solche Transformationen. Singularitäten sind, allgemein gesprochen, Punkte, an denen "etwas schiefgeht": Zum Beispiel bezeichnet man Kanten oder Ecken einer glatten Fläche als "Singularitäten". Ein Ziel war, das Verhalten von Transformationen an den Nabelpunkten einer Fläche besser zu verstehen --- dies sind die singulären Punkte der Theorie, an denen die Transformationen a-priori nicht konstruiert werden können. Da solche Punkte auf vielen Flächen vorkommen, ist eine solche Untersuchung für ein besseres Verständnis der Transformationen wichtig. Die Resultate dieser Untersuchungen waren überraschend: Während viele Transformationen sich auch an Nabelpunkten "anständig" und wie erwartet verhalten ist dies nicht der Fall für ca 25% der Transformationen. Dies hat verheerende Folgen für eine angedachte Klassifikation jener Flächen, die solche Transformationen erlauben: Ein wesentlicher Teil der Transformationen respektiert die antizipierte Klasse von Flächen nicht. Bei diesen Untersuchungen kamen Methoden zur Anwendung, die wir im Zusammenhang mit Transformationen von semi-diskreten Flächen entwickelt haben --- hier zeigt sich, wie a-priori unzusammenhängende Probleme einander befruchten können. Eine wesentliche Stärke unseres Projekts bestand in seiner breiten Anlage und der Diversität der beteiligten Forscher; eine Folge ist eine eine Vielzahl von verschiedenen Ergebnissen, beispielsweise auch zur Erzeugung von Flächen mit verschiedenen Arten von Singularitäten. Unser Projekt war ausschließlich mathematischer Grundlagenforschung gewidmet --- trotzdem ist zu erwarten, dass unsere Resultate in Zukunft gewisse Anwendung finden mögen: So liefern gewisse semi-diskrete Flächen beispielsweise Modelle für Flächen, die aus flachem Material (Papier, Stahl) ohne Verzerrung des Materials hergestellt werden können.Doch solche Fragen, der Anwendbarkeit von Transformationen im Design, ist eine Aufgabenstellung eines anderen Projekts.