Fraktale und Ziffernsysteme

In Österreich wie in Frankreich hat die Forschung über Fraktale unter besonderer Berücksichtigung von Fraktalen, die aus der Theorie der Zifferndarstellung kommen, eine lange Tradition. Dieses Projekt soll die in beiden Ländern existierenden Kräfte bündeln und die vorhandenen Sichtweisen zum Thema Fraktale und Zifferndarstellungen zusammenführen um eine breitere Behandlung dieses Themas zu ermöglichen, als das auf nationaler Ebene möglich wäre. Diese Synergien bilden einen wesentlichen "added value" des vorliegenden Projektes. Das Projekt ist in vier Teile gegliedert. Jeder Teil beleuchtet das Thema des Projektes aus einem anderen Blickwinkel. Arithmetik, Dynamik und Ziffernentwicklungen (ADE) Topologische Eigenschaften von Fraktalen (ToF) Rauzyfraktale und Substitutionen (RaSub) Fraktale unter besonderer Berücksichtigung von Anwendungen (FracApp) Im Ersten Teil (ADE) werden arithmetische Eigenschaften von Ziffernsystemen studiert. Die Themen reichen von Transzendenzeigenschaften im Sinne des van der Poorten-Loxton Theorems, das jüngst von zwei Mitgliedern des französischen Projektteams bewiesen wurde, über natürliche Erweiterungen von Kettenbruchalgorithmen bis hin zu Zifferndarstellungen in Zahlkörpern, redundanten Zifferndarstellungen und deren Anwendungen in der Kryptographie. Bereits in den in diesem Teil behandelten Problemen wird deutlich, wie eng das Studium von Ziffernsystemen mit geometrischen und topologischen Eigenschaften von Fraktalen in Zusammenhang steht. Daher wird im zweiten Teil (ToF) auf diese Eigenschaften von Fraktalen eingegangen. Die meisten bisher bekannten topologischen Resultate beziehen sich auf fraktale Teilmengen der Ebene. In engem Kontakt mit den Topologen Jim Cannon und Greg Conner von der Brigham Young Universität in Provo (Utah, USA) wollen wir im Rahmen dieses Projekts einen wesentlichen Schritt weiter gehen und topologische Eigenschaften höherdimensionaler Fraktale betrachten. Die gewonnenen Ergebnisse sollen dann zum Studium der in Teil eins genannten arithmetischen Eigenschaften von Ziffernsystemen verwendet werden. Während die beiden ersten Teile sich unter einem allgemeinen Gesichtspunkt mit Ziffernsystemen beschäftigen, ist Teil drei (RaSub) Rauzyfraktalen und den zugrundeliegenden Substitutionen gewidmet. Unter Verwendung der Resultate aus Teil eins und zwei wollen wir neue Resultate über Rauzyfraktale, insbesondere im S-adischen Fall, erzielen. Diese Fraktale geben neue Einsichten in das Verhalten von verallgemeinerten Kettenbruchalgorithmen. Auch soll im Rahmen dieses Projektes die Forschung im Zusammenhang mit der Pisotvermutung vorangetrieben werden. Unter Verwendung unterschiedlichster Methoden hoffen wir, im Rahmen dieses Projektes Fortschritte die Vermutung durch neue Methoden und Techniken zu illustrieren. Der letzte Teil (FracApp) ist wieder Fraktalen gewidmet. Wir wollen hier verschiedene Eigenschaften von Fraktalen studieren, wie z. B. Schnitte von Fraktalen mit Geraden oder fraktale Homöomorphismen, die in der Bildverarbeitung eine Rolle spielen. Dieser Teil des Projektes ist als Schnittstelle für die Anwendung von Fraktalen in anderen Wissenschaftsbereichen gedacht. Er zeigt, dass die Ideen und Methoden, die in diesem Projekt entwickelt werden, auch in anderen Disziplinen von Interesse sind. Austrian project members: J. Thuswaldner, L. Cristea, P. Grabner, P. Kirschenhofer, B. Loridant, R. Tichy French project members: V. Berthé, J.-P. Allouche, P. Arnoux, Y. Bugeaud, F. Durand, C. Frougny, A. Hilion, T. Jolivet, A. Siegel, W. Steiner

Arithmetik, Zahlendarstellung und Fraktale Über Jahrhunderte wurde das Dezimalsystem verwendet um natürliche und reelle Zahlen darzustellen. In den vergangenen Jahrzehnten haben sich das Binärsystem sowie exotische Varianten von Zahlendarstellungen als unverzichtbares Werkzeug in der Mathematik und den Computerwissenschaften erwiesen. Wir erwähnen zum Beispiel q-äre Darstellungen und Darstellungen bezüglich Gaussscher ganzer Zahlen, die für den Fall der Basis q=-1+i bereits von Knuth studiert wurden. Während der natürliche Fundamentalbereich eines q-ären Zahlsystems immer das Einheitsintervall ist, erhält man für die Basis -1+i das bekannte Twin-Dragon Fraktal als Fundamentalbereich. Dies illustriert den Zusammenhang zwischen Zahlsystemen und Fraktalen. Allgemeiner gilt, dass die in Zahlsystemen inhärente selbstähnliche Struktur sich in fraktalen geometrischen Strukturen widerspiegelt: Zahlsysteme sind demnach Fraktale im Großen. Das gegenständliche Projekt beschäftigt sich mit dem Studium fraktaler Mengen die durch Zahlsysteme definiert sind und beleuchtet insbesondere deren arithmetische Eigenschaften.Dynamische Systeme und Zahlendarstellungen Sowohl in Österreich als auch in Frankreich hat das Studium von Fraktalen, die durch Zahlsysteme definiert sind eine lange Tradition. Dies beinhaltet Probleme wie zum Beispiel Transzendenzeigenschaften, Kettenbruchalgorithmen, Zahlsysteme in Zahlkörpern, Beta-Numeration, etc. All diese Probleme weisen enge Bezüge zu topologischen und arithmetischen Eigenschaften von Fraktalen auf. Im vorliegenden Projekt kamen Methoden unterschiedlicher Teilbereiche der Mathematik wie Diskrete Mathematik, Dynamik, Zahlentheorie, Geometrie, Topologie sowie Computeranwendungen zum Einsatz. Insbesondere wurden die vier folgenden Themen studiert: Bezüge zwischen Arithmetik, Dynamischen Systemen und Zahlendarstellungen, topologische Eigenschaften von Fraktalen, Bezüge zwischen Rauzyfraktalen und Substitutionen und Anwendungen von Fraktalen. Der im Rahmen des Projektes weiterentwickelte Zugang ist eine bedeutender Ansatz im Studium fraktaler Strukturen. Durch die Synergien, die sich aus der Zusammenarbeit von Wissenschaftern aus Österreich und Frankreich ergaben konnten die Themen in wesentlich größerer Breite abgehandelt werden, als dies auf nationaler Ebene möglich gewesen wäre. Unter den vielen Resultaten, die im Rahmen dieses Projektes erzielt wurden, möchten wir vor Allem die neuen Entwicklungen im Studium der Pisotschen Dynamik erwähnen. Wir konnten die bekannten Beziehungen zwischen Rauzyfraktalen und Pisot Substitutionen auf S-adische Systeme erweitern. Dadurch können auch nichtalgebraische Parameter abgedeckt werden, was weitreichende Auswirkungen z.B. für die Theorie der Kettenbrüche hat. Auch wurden neue Resultate über die Topologie von Rauzyfraktalen, insbesondere deren Fundamentalgruppen, bewiesen.