Adaptive Wavelet und Frame Techniken für BEM in der Akustik

Die Randelemente-Methode (BEM) ist eine häufig verwendete Methode zur numerischen Lösung der Helmholtz- Gleichung. Der Vorteil der BEM liegt darin, dass Probleme in unbeschränkten Gebieten gelöst werden können, und nur die Oberfläche von Objekten diskretisiert werden muss. Jedoch sind die Matrizen, die im Zuge der BEM erzeugt werden, im Allgemeinen voll besetzt und ihre Dimension steigt mit der Frequenz, weil für eine hinreichend genaue Lösung die Gittergröße der Diskretisierung von der Wellenzahl abhängig ist. Deshalb ist eine numerische Lösung von akustischen Problemen mittels BEM oft nur durch effiziente Techniken wie Wavelet oder Fast Multipole Methoden möglich, die die Anzahl der Matrixeinträge verringern. Wavelets besitzen einige Eigenschaften, die bei der numerischen Lösung von Integralgleichungen vorteilhaft sind. Erstens ermöglichen Wavelets die Entwicklung passender Vorkonditionierer und zweitens können Wavelets als lokale Funktionen mit verschwindenden Momenten definiert werden, und bieten daher eine effiziente Möglichkeit die Anzahl der Matrixeinträge zu verringern. Außerdem können basierend auf Wavelets zuverlässige und robuste Fehlerschätzer konstruiert werden, die in BIOTOP zur Entwicklung adaptiver Methoden benutzt werden. Die daraus resultierenden Algorithmen sind asymptotisch optimal, d.h die Konvergenzrate entspricht einer optimalen N- Term Approximation. Um die Anzahl der Matrixeinträge weiter zu verringern, sollen in BIOTOP Frames für die BEM benutzt werden. Frames sind eine Verallgemeinerung von Basen. Sie bieten im Vergleich zu Basen flexiblere Konstruktionsmöglichkeiten und können deshalb besser an verschiedenste Probleme angepasst werden. Die so genannten Alpha-Modulation Frames, zum Beispiel, sind zur Darstellung von Signalen geeignet, die einerseits oszillierende Komponenten als auch isolierte Singularitäten besitzen. Somit besitzen Alpha-Modulation Frames eine großes Potential um Lösungen der Helmholtz-Gleichung effizient darzustellen. Die in BIOTOP entwickelten Algorithmen werden an einem praxis-relevanten Problem getestet. Als Beispiel dient die numerische Berechnung von kopfbezogenen Übertragungsfunktionen (HRTFs). HRTFs beschreiben die Filterwirkung von Körper, Kopf und vor allem des Außenohrs, und können zur Simulation virtueller Schallquellen in 3D benutzt werden. Da im Allgemeinen die Bestimmung von HRTFs eine aufwändige Messung mit spezieller Ausrüstung benötigt, ist eine schnelle und stabile Methode zur Berechnung von HRTFs von großem Interesse. Das Gitter, das zu Berechnung benutzt wird, wird aus einem 3D-Scan eines Kopfes generiert. Da für HRTFs Frequenzen bis 16 kHz von Interesse sind, muss das Gitter sehr fein sein, und die Dimension der Systemmatrix liegt im Bereich von einigen zehntausend. Die berechneten Ergebnisse werden mit bereits vorhanden HRTFs verglichen, die einerseits mittels Fast Multipole beschleunigtem Code berechnet als auch durch Messungen bestimmt wurden. BIOTOP vereinigt die Erfahrung von drei etablierten Forschungsgruppen in Deutschland, Österreich und der Schweiz (DACH) um innovative und effiziente Verfahren zu Lösung akustischer Probleme zu entwickeln.

Das Hauptziel von BIOTOP war die Entwicklung effizienter Methoden mit deren Hilfe die Ausbreitung von Schallwellen simulieren werden können, z.B. um die Wirkung von Schallschutzwänden zu erforschen oder individuelle Filterfunktionen für 3D Audio zu berechnen. Weil das Schallfeld aber auch aus oszillierenden Teilen besteht, steigt die Anzahl der Unbekannten und damit auch der Rechenaufwand mit steigender Frequenz, um diese Oszillationen auflösen zu können. Darüber hinaus ist es notwendig, in Bereichen mit Ecken und Kanten genauer zu rechnen, was wiederum höheren Rechenaufwand bedeutet. In BIOTOP wurden neue Verfahren entwickelt, die auf speziellen Funktionen zur Darstellung der unbekannten Lösung basieren. Es wurden sowohl der theoretische Unterbau als auch die konkrete Implementierung dieser Methoden untersucht. Um das Problem mit den Ecken zu lösen, wurde die Verwendung von Wavelets untersucht. Wavelets haben die Eigenschaft, dass sie eine Art Zoom`` bei Ecken und Kanten erlauben, und somit mit ihrer Hilfe ein Computeralgorithmus automatisch seine Genauigkeit an unterschiedlichen Stellen des zu untersuchenden Objekts anpassen kann. Um die Probleme mit der hohen Auflösung bei hohen Frequenzen effizient zu behandeln, wurden in BIOTOP Bausteine benutzt, die eine oszillierende Komponente eingebaut haben, s.g. Frames. Im speziellen wurden s.g. alpha-modulations Frames betrachtet, die die Eigenschaften von Frame und Wavelet vereinen. Obwohl Frames bereits in der Signalverarbeitung große Verbreitung besitzt, werden sie kaum in anderen Gebieten der angewandten Mathematik und Ingenieurwissenschaften verwendet. Verglichen mit gewöhnlichen Ansatzfunktionen sind Frames meistens redundant, d.h. verschiedenen Frame Elemente können auf verschiedenen Arten zusammengesetzt werden, um die gleiche Lösung darzustellen. In BIOTOP wurde gezeigt, dass a) Computerprogramme, die auf Wavelets basieren, adaptiv und sehr effizient Schallfelder in der Umgebung von Objekten mit Ecken und Kanten berechnen können und dass b) Frames eine großes Potential besitzen, die erhöhte Genauigkeit, die durch hohe Frequenzen notwendig wird, effizient zu bewerkstelligen. Mit ihrer Hilfe können in zukünftigen Projekten Computerprogramme generiert werden, die sich automatisch an verschiedene Frequenzen anpassen können. In BIOTOP wurde einerseits neue mathematische Theorie über die Stabilität und Konstruktionsmethoden für alpha-modulation Frames entwickelt als auch numerische Experimente mit verschiedenen Frames durchgeführt. In diesem Sinn fungierte BIOTOP auch als Bindeglied zwischen reiner theoretischen Mathematik und angewandten Ingenieurwissenschaften.