Verallgemeinerte indefinite Zeichenfolgen und ihre Anwendung

Das Projekt betrifft nichtlineare Wellengleichungen, vollständig integrable Systeme und die inverse Spektraltheorie. Genauer gesagt, sind die Hauptgegenstände unseres Projekts: (a) Die CamassaHolm-Gleichung, eine der bedeutendsten vollständig integrablen nichtlinearen Wellengleichungen in 1 + 1 Dimensionen. Unter den zahlreichen bekannten Modellen für Flachwasserwellen (zum Beispiel der Kortewegde Vries-Gleichung oder der BenjaminBonaMahoney-Gleichung) zeichnet sich dieses Modell insbesondere dadurch aus, dass es das erste und lange gesuchte Modell mit den folgenden drei Eigenschaften ist: vollständige Integrierbarkeit, da es eine Lax-Paar-Darstellung zulässt, Solitonen, insbesondere auch spitzförmige (sogenannte Peakons), und endliches Zeitverhalten mit Blow-up glatter Lösungen, das in gewissem Maße dem Wellenbrechen ähnelt. Unser übergeordnetes Ziel besteht darin, konservative Lösungen der CamassaHolm-Gleichung eine besondere Klasse globaler schwacher, energieerhaltender Lösungen mittels der inversen Streuungs- bzw. Spektraltransformation zu untersuchen. Dabei umfasst dieses Vorhaben mehrere seit Langem offene Probleme auf diesem Gebiet. (b) Verallgemeinerte indefiniter Saiten. Dieses Objekt wurde 2014 in unserer gemeinsamen Arbeit mit J. Eckhardt im Zusammenhang mit dem isospektralen Problem des konservativen CamassaHolm-Flusses eingeführt. Die Bedeutung dieses Zusammenhangs liegt darin, dass er als kanonisches Modell eines selbstadjungierten Operators mit einfachem Spektrum dient (zwei weitere klassische Modelle sind Jacobi-Matrizen und kanonische Systeme). Verallgemeinerte indefinite Saiten stellen unser zentrales Arbeitsinstrument dar. Dieses neuartige Objekt der direkten und inversen Spektraltheorie bietet mehrere Vorteile gegenüber den klassischen Objekten der Spektraltheorie, wie etwa der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung (tatsächlich kann letztere als spezieller Fall in die Theorie der ersteren eingebettet werden).