Attraktionen in nichtlinearen Hamilton Welle-Teilchen-System

Das Hauptthema dieses Forschungsprojektes ist das Langzeitverhalten von Lösungen nichtlinearer Hamilton`schen-PDEs (partieller Differentialgleichungen), die in der Atomphysik entstehen. Insbesondere werden nichtlineare Schrödinger-Gleichungen und die Maxwell-Lorentz-Gleichung mit rotierenden geladenen Teilchen betrachtet. Diese Gleichungen haben Lösungen einer bestimmten Form, die als solitären Wellen oder ``Solitonen`` bezeichnet werden. Es ist bekannt, dass solitäre Wellen von fundamentaler Bedeutung für die Forschung von Evolutionsgleichungen sind, vor allem, weil sie oft leicht berechnet werden können, und zudem, weil sie im Langzeitverhalten von Lösungen dieser Gleichungen entstehen. Die Hauptziele des Projekts sind i) die Langzeit-Konvergenz von Lösungen mit endlicher Energie auf die Menge aller Solitonen zu beweisen; ii) die Stabilität von solitären Wellen zu analysieren. Diese Ziele wurden von den Problemen der Stabilität und der effektiven Dynamik von Elementarteilchen inspiriert, weil diese mit solitären Wellen nichtlinearer Feldgleichungen identifiziert werden können. Diese Identifizierung entspricht der Heisenbergschen Theorie der Elementarteilchen im Zusammenhang mit nichtlinearen hyperbolischen PDEs. Die ersten Ergebnisse in diesem Zusammenhang wurden 1965 von N. Zabusky und M. Kruskal für die Korteweg-de Vries Gleichung durch numerische Simulation erzielt. Im Jahr 1967, entdeckten C. Gardner, J. Greene, M. Kruskal und R. Miura, dass die inverse Streutransformation verwendet werden kann, um diese Gleichung analytisch zu lösen. Es wurde gesehen, dass jede Lösung mit endlicher Energie konvergiert für grosse Zeiten zu Summe einer solitären Welle und einer dispersiven Welle.Wenig später entwickelte P. Lax einen einheitlichen Zugang für allgemeinere integrierbare Gleichungen. Dieser Zugang ist jedoch auf die meisten Grundgleichungen der mathematischen Physik nicht anwendbar, weil sie nicht integrierbar sind. Seit 1990 steht dieses Problem im Zentrum der modernen mathematischen Analyse nichtlinearer PDEs durch fürhrende Experten auf diesem Gebiet: V. Bach, M. Esteban, J. Fröohlich, M. Griesemer, P.-L. Lions, I. Rodnianski, E. Séré, W. Schlag, I. Sigal, A. Soffer, H. Spohn, M. Weinstein und andere. Diese Untersuchungen haben die Entwicklung der mathematischen Physik, der Theorie der PDEs und der Funktionsanalyse stark beeinflusst. Wir planen die Forschung auf neuartige Gleichungen auszudehnen: die Maxwell-Lorentz- Gleichung mit rotierenden geladenen Teilchen und die Schrödinger-Gleichung gekoppelt mit nichtlinearen Oszillator.

Ziel des Projekts ist die Untersuchung des Langzeitverhalten von Lösungen nichtlinearer Hamiltonscher Wellengleichungen. Die Gleichungen beschreiben die Wechselwirkung zwischen Wellen und Materie, welche ein zentrales Objekt der theoretischen Physik darstellt. Die Hauptbeson-derheit der Probleme besteht darin, dass sowohl das Wellenprofil als auch die Materieparameter unbekannt sind und sich während der Wechselwirkung verändern. Mathematisch bedeutet dies, dass die Gleichungen nichtlinear sind. Die Gleichungen stammen aus der klassischen Elektrodynamik und der Quantenphysik vom Anfang des 20. Jahrhunderts; jedoch bleiben viele Fragen zu den Eigenschaf-ten ihrer Lösungen - insbesondere die mathematische Beschreibung der Bohrschen Übergänge in quantenmechanische stationäre Zustände - bis heute offen. Die besondere Schwierigkeit des Problems besteht darin, dass in allen fundamentalen Gleichungen keine Reibung auftritt, sodass die Energie erhalten bleibt. Insbesondere sind Bohrsche Übergänge in jedem endlichdimensionalen dynamischen System mit Energieerhaltung unmöglich. Eine intensive mathematische Untersuchung des Langzeitverhalten von Lösungen dieser Gleichungen begann um 1970. Die ersten Ergebnisse zur Wellen-Materie-Wechselwirkung wurden um 2000 für die Maxwell-Lorentz-Gleichungen erzielt, die ein klassisches Teilchen ohne Rotation, gekoppelt an das elektromagnetische Feld, beschreiben. Insbesondere wurde die globale Anziehung zu stationären Zuständen nachgewiesen, was ein mathematisches Modell der Bohrschen Übergänge liefert. Die Rolle der Reibung wird hier durch den Strahlungsverlust ins Unendliche übernommen. In unserem Projekt haben wir die Ergebnisse auf den Fall eines rotierenden Teilchens erweitert. In diesem Fall besitzen die Maxwell-Lorentz-Gleichungen Soliton-Lösungen, die Teilchen entsprechen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen und mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotieren. Die Solitonen liefern ein mathematisches Modell eines Quantenteilchens mit Spin. Die Hauptergeb-nisse des Projekts für die Maxwell-Lorentz-Gleichungen sind i) die globale Anziehung aller Lösungen endlicher Energie zu Soliton-Lösungen und ii) die Stabilität der Soliton-Lösungen. Im zweiten Teil des Projekts haben wir ähnliche Eigenschaften für quantenmechanische Klein-Gordon und Dirac Gleichungen mit nichtlinearen Punktwechselwirkungen nachgewiesen. Der Beweis dieser Ergebnisse erforderte eine neuartige Entwicklung und Einführung zahlreicher mathematischer Methoden im Kontext der betrachteten Gleichungen: Lie-Poincaré Kalkül, Hamilton-Poisson-Struktur, Casimir-Invarianten, die Impulsabbildung, Ljapunow-Funktionen, symplektische Projektion in Hilbert-Räumen, Spektraltheorie nichtselbstadjungierter Operatoren und andere. Der Strahlungsverlust ins Unendliche wird durch den dispersiven Zerfall der entsprechenden linearisierten Gleichungen begründet. Unsere Ergebnisse sind durch das Problem der Stabilität von Elementarteilchen inspiriert und liefern neue mathematische Modelle der Bohrschen Übergänge in quantenmechanische stationäre Zustände. Die entwickelten Methoden können für die Weiterentwicklung der Stabilitätstheorie nichtlinearer Hamiltonscher PDEs nützlich sein.