Computeralgebra für Mehr-Schleifen Feynman-Integrale

Im digitalen Zeitalter gelang es in den letzten Jahrzehnten viele Bereiche der Mathematik algorithmisch umzusetzen. Nicht nur einfache Taschenrechner sondern auch anspruchsvolle Apps für nichttriviale Formelvereinfachungen befinden sich inzwischen auf vielen Smartphones und werden so in vielen Lebensbereichen (Schule, Studium, Beruf) wie eine Selbstverständlichkeit verwendet. Dies ist aber nur der Gipfel des Eisbergs. Mit Hilfe von neuen Computeralgebra Technologien können inzwischen komplexe Ausdrücke vereinfacht werden, die von Experten so nicht mehr behandelt werden können. Sei es, weil die auftretenden Objekte inzwischen zu kompliziert oder die Ausdrücke einfach zu groß sind. In diesem Forschungsprojekt, in enger Zusammenarbeit mit dem Deutschen Elektronen- Synchrotron (DESY, Johannes Blümlein und Peter Marquard) werden wir diese spannenden Entwicklungen der algorithmischen Mathematik auf das Forschungsgebiet der Elementarteilchenphysik anwenden. Um fundamentale Fragen wie z.B. "Wie sah das Universum unmittelbar nach dem Urknall aus?", "Gab es eine gemeinsame Urkraft der uns bekannten 4 Kräfte des Universums?" oder "Entsprechen die Eigenschaften des erst vor kurzem entdeckten Higgs-Boson Elementarteichens den Vorhersagen aus der Theorie?" zu beantworten oder sich zumindest anzunähern, müssen hochgradig komplizierte Feynman-Integrale berechnet und vereinfacht werden. Diese beschreiben das Verhalten der Elementarteilchen auf nicht trivialer Weise mit höchster Genauigkeit. Genauer werden wir anspruchsvolle Ausdrücke von massiven Mehr-Schleifen Feynman- Integralen mit mehren GB Speicherbedarf vereinfachen. In einem ersten Vorbereitungsschritt werden die Ausdrücke derart weiter verarbeitet, dass diese in die Inputklasse unserer Computeralgebra Algorithmen fallen: neben der Transformation von besser geeigneten Integral-Darstellungen werden dabei auch die Umwandlung zu verschachtelten Summen oder die Berechnung von gekoppelten linearen Differentialgleichungssystemen (lineare Gleichungssysteme mit einem Differentialoperator) vorgenommen, welche das physikalische Problem als Lösung beschreiben. In allen diesen Fällen ist es dann eine zentrale Aufgabe, riesige lineare Differentialgleichungen oder Rekurrenzen zu lösen, wobei in den Lösungen auch neuartige Funktionen auftreten, deren mathematische Eigenschaften vollkommen unbekannt sind. Um diese geplanten Monsterrechnungen durchzuführen, müssen viele hochkomplexe Hürden überwunden werden, die nur mit unseren neuen Computeralgebra-Techniken durchführbar sein werden. Insbesondere müssen neue Algorithmen aus der symbolischen Summation und Integration aber auch Technologien aus dem Bereich der speziellen Funktionen entwickelt werden. Eine besondere Herausforderung wird dabei sein, diese anspruchsvollen Algorithmen in stabile und hoch effiziente Softwarepakete umzusetzen. Zusammenfassend werden wir gigantische Ausdrücke von Mehr-Schleifen Feynman-Integralen mit Hilfe unserer optimierten und neuartigen Computeralgebra Technologien vereinfachen und letztlich zu einer Form aufbereiten, wie sie unter anderem für die Physik am Large Hardron Collider (LHC) und seinem geplanten Nachfolger am CERN, dem FCC, dringend benötigt werden. Insbesondere werden unsere Ergebnisse substantiell dazu beitragen, weitere faszinierende Erkenntnisse innerhalb der Elementarteilchenwelt zu gewinnen.