Das Problem der Quantentrennbarkeit

Die Quantentrennbarkeit ist eines der wichtigsten Themen der heutigen Quantenphysik. Es beschreibt die Verschränkungseigenschaften von gemischten Quantenzuständen und ist ein wesentliche Aspekt in einer Vielzahl von Anwendungen (Teleportation, Kryptographie, Quantencomputing, Informationsverarbeitung und Optik, um nur einige zu nennen). Die Begriffe Trennbarkeit und Verschränkung umgab schon immer eine mysteriöse Aura, die Einstein dazu veranlasste, nach der berühmten "EPR" -Arbeit zu erklären, dass es sich bei der Quantenmechanik um "Spukhafte Fernwirkung" handelt. Wir werden uns mit dem folgenden Problem befassen, eine vollständige strenge mathematische Charakterisierung der Quantentrennbarkeit zu erhalten. Es ist ein schwieriges Problem, das in der Theorie der rechnerischen Komplexität als NP-hart eingestuft wird. Gemischte Quantenzustände werden mathematisch durch "Dichteoperatoren" dargestellt. Hierbei handelt es sich um positive, selbstadjungierte Operatoren mit Spur eins auf einem Hilbert-Raum. Zwar sind einige notwendigen Bedingungen für die Trennung eines gemischten Zustands bekannt (z. B. das "PPT-Kriterium" von Horodecki und Peres oder die Werner-Wolf-Bedingung in der Kovarianzmatrix). Es fehlen jedoch allgemeine und nachvollziehbare Bedingungen außerhalb von einige elementare niedrigdimensionale Fälle und der Gaußsche Fall (aber selbst letzterer ist noch nicht vollständig verstanden). Wir werden diese Fragen mit Hilfe fortschrittlicher Methoden aus der reinen und angewandten Mathematik, wie beispielsweise der Operatortheorie, der Gabor frames Theorie und der symplektischen Geometrie, behandeln. Unser Ansatz ist völlig neu und wurde in früheren Arbeiten noch nicht verfolgt. Ein anderes Instrument, mit dem die Frage der Trennbarkeit noch nicht in Angriff genommen wurde, ist das sogenannte "Prinzip des symplektischen Kamels", das eine bemerkenswerte Eigenschaft mechanischer Systeme darstellt. Es wird uns helfen, eine geometrische Beschreibung der Trennbarkeit zu erhalten. Dieses Projekt wird idealerweise zu großen theoretischen Fortschritten in der Mathematik und in der Quantenmechanik führen. Der Autor wird der Principal Investigator sein. Er wird seine enge Zusammenarbeit mit mehreren internationalen Teams von Mathematikern und mathematischen Physikern fortsetzen und auch n e u e K o o p e r a t i o n e n

Dieses Projekt, das der Untersuchung der Verschränkung (einem grundlegenden Thema der Quantentheorie) gewidmet ist, hat zu vielen neuen Ergebnissen geführt. Wir haben unter anderem gezeigt, welche wichtige Rolle die symplektische Topologie (insbesondere Varianten von Gromovs symplektischem Nicht-Einschnürungssatz) bei der Untersuchung der Trennbarkeit von bipartiten Quantensystemen spielt. Dies hat zu neuen schwierigen Fragen geführt, die hoffentlich in der Zukunft gelöst werden können.