Innerhalb des Framesets

Das Projekt wird geleitet von Dr. Markus Faulhuber und beschäftigt sich mit den mathematischen Grundlagen der Signalverarbeitung, genauer der Zeit-Frequenz Analyse. Bei gegebenem analogen Signal, wollen wir lokale Informationen über bestimmte Frequenzbänder in einem kurzen Zeitintervall erhalten. Dies bedeutet dass wir einen Teil des Signals ausschneiden oder mit einer geeigneten Funktion, z.B. eine Gaussglocke, dämpfen. Danach soll das Signal in einfache Bausteine aus (Co-)Sinuskurven mit ganzzahliger Frequenz zerlegt werden. Dieser Prozess erlaubt es uns lokale Messungen des Signals vorzunehmen, sprich die Amplituden der Sinuskurven bzw. der aktiven Frequenzbänder zu extrahieren. Diese Messungen, auch Koeffizienten genannt, können dann an ein Empfangsgerät übertragen werden mit welchem die lokale Information wieder zum ursprünglichen Signal zusammengebaut werden kann. Ein Weg dies mathematisch zu realisieren sind sogenannte Gaborsysteme, benannt nach dem Physik Nobelpreisträger D. Gabor. Dieser untersuchte die genannte Theorie bereits 1946. Solche und ähnliche Systems entsprechen nun dem neuesten Stand der Technik und werden z.B. bei WLAN oder den 4G/5G Standards verwendet (um nur einige zu nennen). Obwohl die Theorie etliche Jahrzehnte alt ist, gibt es immer noch viele ungelöste mathematische Probleme. Eines davon ist die Frage nach der Anzahl der Samples pro Sekunde und wie man die Frequenzbänder am besten aufteilt um eine stabile Übertragung der Koeffizienten zu gewähren und so das Signal auch wieder stabil rekonstruieren zu können. Eines der ersten Resultate in diese Richtung, bekannt bereits in den 1930ern, ist das Samplingtheorem nach Whittaker-Nyquist- Kotelinkov-Shannon (WNKS). Es gibt eine hinreichende Bedingung für die Digitalisierung eines analogen Signals ohne Informationsverlust, unter der Annahme der Bandbeschränktheit. Das bedeutet dass die Koeffizienten von Sinuskurven welche über einer Grenzfrequenz liegen Null sind. Gaborsysteme kommen ohne diese Annahme aus und das WNKS Samplingtheorem kann als Spezialfall betrachtet werden. Ziel des Projekts ist es die mathematische Theorie solcher Samplingtheoreme für bestimmte Gaborsysteme voran zu treiben. Darüber hinaus wird auch der Frage nach optimalen Samplingstrategien für Gaborsysteme nachgegangen. Diese Fragen können in der Regel nicht allgemein beantwortet werden und hängen zum Teil auch von der Situation und dem gewählten System ab. Die allgemeinen, mathematischen Resultate sind zudem oft nur für 1-dimensionale Signale (welche die Messung von Schallwellen, EEG, EKG, etc. umfassen) bekannt und es ist oft unklar ob entsprechende Resultate für 2-, oder 3- (oder höher-) dimensionale Signale gelten. Die Theorie für höher-dimensionale Signale weiter zu entwickeln ist ebenfalls ein Ziel des Projekts. Zuletzt seien noch Beobachtung erwähnt, welche enge Zusammenhänge zwischen Gaborsystemen und Zahlentheorie aufzeigen. Diese weiter zu verfolgen ist von unabhängigem, mathematischem Interesse.

Das Projekt hatte zum Ziel, die mathematischen Grundlagen der Signalverarbeitung besser zu verstehen. Vereinfacht gesagt soll ein analoges Signal in ein digitales umgewandelt werden, damit es verarbeitet, übertragen und an einen Empfänger übermittelt werden kann. Diese Prozesse sind entscheidend für moderne drahtlose Kommunikation, etwa 4G und 5G. Ein zentrales Werkzeug dabei ist die Fourier-Transformation, die ein Signal in seine Frequenzen zerlegt. In der Signalverarbeitung nutzt man oft die sogenannte Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT - short-time Fourier transform). Die Idee, Abtastwerte der STFT zur Kommunikation zu verwenden, geht auf den Nobelpreisträger Dennis Gabor und seine wegweisende Arbeit aus dem Jahr 1946 zurück. Wir haben die zugrunde liegenden Gabor-Systeme untersucht und dabei neue mathematische Ergebnisse erzielt. Unter anderem konnten wir eine seit 20 Jahren offene Frage zur optimalen Abtastung beantworten und überraschende Erkenntnisse über sogenannte "Frame Sets" gewinnen. Diese klassifizieren Abtastmuster, die eine stabile Rekonstruktion digitaler Signale ermöglichen. Darüber hinaus erzielten wir Fortschritte in anderen Bereichen wie z.B. der Kristallographie in der mathematischen Physik . Dabei soll verstanden werden, wann und warum Teilchen Kristallstrukturen bilden. Die Verbindung entsteht durch eine mathematische Analogie zwischen der Signalverarbeitung und der mathematischen Physik. Außerdem fanden wir spannende Zusammenhänge zwischen der mathematischen Signalverarbeitung und der Geometrie der Zahlen.