Optimale Transporttheorie in der Stochastik und partielle Differenzialgleichungen

In diesem Projekt wollen wir systematisch die Verbindung zwischen der Theorie des optimalen Transports auf der einen Seite, und stochastischen Aspekten, insbesonders der Martingaltheorie, auf der anderen Seite studieren. Das Thema geht aus Anwendungen in der Finanzmathematik hervor, die zu einem robusten Zugang fur die Bewertung und Absicherung exotischer Optionen fuhren, wenn die Preise von plain vanilla Optionen gegeben sind. Dies fuhrt in naturlicher Weise auf einen Massentransport von einem Maß 1 zu einem Maß 2 auf Rd+ , der die Martingaleigenschaft besitzt. Hier modellieren die Maße 1 (bzw. 2 ) die Wahrscheinlichkeiten der stock-Preise zum Zeitpunkt t1 > 0 (resp. t2 > t1 ), und 2 dominiert 1 bezuglich der konvexen Ordnung. Wir wollen dieses Themengebiet noch weiter erforschen und Verbindungen mit anderen Anwen- dungen der Theorie der partiellen Differenzialgleichungen herstellen. Das Hauptwerkzeug ist die Dualitatstheorie, basierend auf dem minmax Theorem, welches wiederum eine Konsequenz des Hahn-Banach Theorems ist. Die Analyse der optimalen Losung des dualen Problems welche man als unendlich-dimensionales Analogon von Langrange-Multiplikatoren interpretieren kann, eroffnet oft uberraschende und neue Einsichten. Unser letztes Ziel ist es, durch die Analyse des dualen Problems punktweise Ungleichungen (anstatt von Ungleichungen im Erwartungswert) fur eine Reihe von Problemen herzuleiten. 1

In diesem Projekt werden die stochastischen Aspekte von Diffusionen untersucht. Diese Prozesse sind in zahlreichen Anwendungen von Interesse, von der statistischen Mechanik bis zur Finanzmathematik. Der Ariadne-Faden unserer Untersuchungen ist der sogenannte "pfadweise" oder "trajektorielle" Zugang. Gegeben ist ein stochastischer Prozess, zum Beispiel ein physikalisches System oder die Aktienpreise in einem Finanzmarkt. Der Zufallseinfluss wird in beiden Fällen durch eine Brownsche Bewegung angetrieben. In einem sehr einflussreichen Artikel haben Jordan, Kinderlehrer und Otto (1998) das klassische Konzept der Dissipation der Entropie - ein Thema das auf Boltzmann's Arbeiten im späten 19. Jahrhundert zurückgeht - mit der Theorie der optimalen Transporte in Beziehung gebracht. Sie konnten dadurch zum Beispiel den Fluss der Wärmeverteilung eines physikalischen Systems als Gradienten-Fluss interpretieren. Das Funktional ist durch die Entropie gegeben und der wesentliche Aspekt ist die Betrachtung der quadratischen Wasserstein Distanz auf dem Raum der Wahrscheinlichkeiten auf dem n-dimensionalen Raum. Im gegenständlichen Projekt verfolgten wir den pfadweisen Zugang. Wir betrachten die relevanten Größen, wie etwa die Entropie, die Fisher Information etc. nicht nur als reelle Zahlen, sondern als Zufallsvariable, die von der jeweiligen Realisierung des Pfads eines Partikels abhängen. Die Theorie der stochastischen Prozesse, insbesondere die sogenannte Ito Formel, erlauben es, die wesentlichen Zusammenhänge abzuleiten. Die klassischen Resultate folgen dann als einfache Konsequenzen dieser Ergebnisse, indem man zu den Erwartungswerten, also dem Durchschnitt dieser Zufallsvariablen übergeht. Dieser Zugang zeigt neue Perspektiven auf und wird weitere Anwendungen auf zahlreichen Gebieten finden, zum Beispiel auch im Bereich der Finanzmathematik, zu der der PI schon eine Reihe von wesentlichen Arbeiten beigetragen hat.