Fraktionale Diffusion und Portfolio Optimierung

Das Projekt analysiert die notwendigen Modifikationen der klassischen Black-Scholes Theorie, wenn die Differenzial-Operatoren, die in der Black-Scholes Differenzial-Gleichung auftreten, durch ihre fraktionellen Versionen ersetzt werden. Aus praktischer Sicht ist es sehr wünschenswert, diese Effekte präzise zu verstehen, denn es ist wohlbekannt, dass die Black-Scholes Theorie einige allzu starke Vereinfachungen aufweist, zB die dramatische Unterschätzung der Wahrscheinlichkeit von extremen Ereignissen. Zwischen dem Differenzialgleichungszugang und dem probabilistischen Zugang gibt es eine fruchtbare Wechselwirkung. Im gegenwärtigen Zusammenhang entspricht der Übergang von der Black-Scholes Differenzialgleichung zu ihren fraktionalen Varianten dem Übergang von einer (geometrischen) Brownschen Bewegung zu einer fraktionellen Brownschen Bewegung und zu alpha-stabilen Lévy Prozessen. Diese Modifikationen sind nicht von einer oberflächlichen Art, sondern implizieren grundlegende Änderungen in den Paradigmen der Theorie. Der Übergang zu fraktionaler Brownscher Bewegung macht es notwendig, den klassischen Rahmen der Semi-Martingal Theorie zu verlassen. Die damit einhergehenden Schwierigkeiten stellen große technische Herausforderungen dar. Um am Ende des Tages anwendbare und praktisch relevante Resultate zu erhalten, schlagen wir eine asymptotische Analysis der angesprochenen Varianten vor, weg vom Black-Scholes Modell.

Im klassischen Rahmen der Finanzmathematik analysiert man den Finanzmarkt ohne Transaktionskosten. Unter der No-Arbitrage-Annahme sollte der Preisprozess ein Semimartingal sein. Dies schließt einige wichtige Modelle aus, z.B. Modelle, die auf einer fraktionalen Brownschen Bewegung basiert sind. Diese Modelle werden von Mandelbrot vorgeschlagen und stark durch empirische Daten gestützt. Durch die Einführung von Transaktionskosten verschwinden jedoch die Arbitrage-Möglichkeiten. Dies ermöglicht die Verwendung dieser Modelle für die Portfolio-Optimierung unter Transaktionskosten.Wir zeigen, dass für ein Marktmodell basierend auf der fraktionalen Brownschen Bewegung ein sogenannter Schattenpreis existiert, welcher innerhalb der Geld-Brief-Spanne des ursprünglichen Markts mit Transaktionskosten liegt und zum gleichen maximalen Erwartungsnutzen und zur gleichen optimalen Handelsstrategie führt. Das Verhalten des Investors auf dem Markt mit Transaktionskosten kann mithilfe eines geeigneten Schattenmarkts ohne Transaktionskosten beschrieben werden. Dieses Resultat stellt eine Brücke zwischen dem klassischen Semimartingal-Marktmodell ohne Transaktionskosten und dem fraktionalen Marktmodell mit Transaktionskosten.