Explizite Probleme in der Diophantischen Analysis und Geometrie

Das mathematische Studium von Diophantischen Problemen, das sind solche Probleme für die Lösungen in den ganzen oder rationalen Zahlen bzw. deren Verallgemeinerungen in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern gesucht werden, nennt man Diophantische Analysis. Hauptwerkzeuge zur Untersuchung solcher Probleme sind die Thue-Siegel-Roth-Schmidt`sche Methode, sowie die Baker`sche Linearformen-Methode im Zahlkörperfall und die Verallgemeinerung des ABC-Satzes von Brownawell und Masser im Funktionenkörperfall. Da das Arbeiten mit konkreten Gleichungen mittlerweile an natürliche Grenzen stößt, versucht man in letzter Zeit, Probleme mit einem geometrischen Hintergrund zu betrachten; dies geschieht in der Diophantische Geometrie. Die Lösungsmenge eines Diophantischen Problems wird dabei z.B. als Schema endlichen Typs über dem Spektrum der ganzen Zahlen interpretiert, und dann werden auch Methoden der algebraischen Geometrie zur weiteren Untersuchung eingesetzt. In diesem Projekt sollen einige weitere und neue explizite Diophantische Probleme untersucht werden. Dabei wird oft eine solche geometrische Sichtweise angelegt. Zu den vorgesehenen Projekten gehören Fragen über lakunäre rationale Funktionen, welche bzgl. der Komposition von Funktionen zusammengesetzt sind, ganze und rationale Punkte auf gefaserten Flächen inklusive Fragestellungen im Zusammenhang mit linear rekursiven Folgen und Familien von klassischen Diophantischen Gleichungen über Funktionenkörpern, sowie Diophantische Tupel. Wir streichen exemplarisch zwei Projekte hervor, welche behandelt werden: Im ersten Projekt geht es um die Charakterisierung von zusammengesetzten lakunären rationalen Funktionen. Zusammengesetzte Funktionen spielen in vielen Gebieten eine wichtige Rolle, z.B. bei Fragen der Dynamik, aber auch bei der Lösung von Diophantischen Gleichungen mit getrennten Variablen. Ebenso sind lakunäre rationale Funktionen oft von Bedeutung, z.B. in der reellen Geometrie oder bei der Beschreibung von Funktionen auf einem Torus. Ziel ist es die Kompositionsfaktoren von zusammengesetzten lakunären rationalen Funktionen durch effektiv-berechenbare Daten zu beschreiben, sofern die innere Funktion nicht von einer ganz bestimmten Ausnahmegestalt ist. Abgesehen von diesem Hauptproblem werden damit zusammenhängende Fragen untersucht, wie z.B. eine geometrische Formulierung dieses Problems zu geben oder auch andere Arten von Lakunarität zu untersuchen. Im Beweis wird unter anderem der Satz von Brownawell-Masser verwendet. Dieser ist auch das Werkzeug für eine Reihe von weiteren Fragestellungen, welche mit polynomiellen Problemen im Zusammenhang stehen. Ein anderes Projekt handelt von sogenannten Diophantischen Tupeln, das sind Mengen von positiven ganzen Zahlen mit der Eigenschaft, dass das Produkt je zweier Zahlen nur um eins kleiner als ein Quadrat einer ganzen Zahl ist. Solche und ähnlich definierte Mengen habe im Laufe der Zeit viel Aufmerksamkeit bekommen, da es sich um ein altes, auf Diophantus zurückgehendes Problem handelt und unter anderem auch von Fermat, Euler, Baker und in letzter Zeit von Dujella untersucht worden ist. Eine der vielen Vermutungen lautet, dass es keine solche Menge mit fünf Zahlen gibt. Neben verschiedenen Ansätzen diese Vermutung endlich vollständig zu lösen, werden wir auch verwandte Fragen untersuchen, wo z.B. Polynome anstatt ganzer Zahlen oder Elemente einer vorgegebenen linear rekursiven Folge anstatt von Quadratzahlen betrachtet werden.