Verteilung von Ziffernsummen und digitalen Folgen

Im Laufe der letzten drei Jahre wurden vom Antragsteller (G. Larcher) und von der Koautorin und designierten Projektmitarbeiterin (R. Hofer) das Konzept der Niederreiter-Halton Folgen (NH Folgen) eingeführt. Diese Folgen entstehen durch Kombination von digitalen (T,w_i)-Folgen im Sinn von Niederreiter in verschiedenen Basen zu einer Punktfolge im s-dimensionalen Einheitswürfel. Die klassischen Halton-Folgen sind ein grundlegendes Beispiel von NH Folgen. In einer Reihe von Arbeiten wurde diese neue Klasse von Folgen im s-dimensionalen Einheitswürfel in Hinblick auf ihre Verteilungseigenschaften untersucht. Inbesondere wurde studiert, welche der NH Folgen niedrig-diskrepante Punktfolgen darstellen. Diese Untersuchungen führten zu interessanten Fragestellungen über (gewichtete) Ziffernsummen. Vor allem spielen (gemeinsame) Verteilungseigenschaften von (gewichteten) Ziffernsummen (in verschiedenen Basen) eine wesentliche Rolle für das Studium von NH Folgen. Verschiedene Arbeiten auch in diese Richtung wurden von den Autoren bereits durchgeführt. Prinzipielles Ziel dieses Projekts ist es, das Studium der NH Folgen wesentlich vorwärts zu treiben und in gewisser Hinsicht zu vervollständigen und anbei einige grundlegende Fragestellungen zur Verteilung von Ziffernsummen zu beantworten. Konkret wurde die projektierte Arbeit in neun Problemgruppen untergliedert. Die wesentlichsten Themenbereiche sind: Verallgemeinerung von Resultaten von Newman, Drmota und Skalba, Drmota und Stoll über die Verteilung von Ziffernsummen von Zahlen in arithmetischen Progressionen auf beliebige Basen und auf gewichtete Ziffernsummen, Diskrepanz verschiedener Typen von NH Folgen, untere Schranken für gemeinsame Verteilungseigenschaften von Ziffernsummen in verschiedenen Basen (im Sinn von Kim), (verbesserte) Diskrepanz-Abschätzungen für "Hybrid-Folgen" im Sinn von Niederreiter, untere Schranken für die Diskrepanz der Halton Folgen.

Hochdimensionale, sehr gut verteilte Punktmengen werden für Simulationen in verschiedensten Anwendungsgebieten wie Technik, Wirtschaftswissenschaften, Physik, Medizin, Biologie benötigt. Die Konstruktion solcher Punktmengen ist ein hochkomplexes mathematisches Problem. Entgegen erster Intuition sind nämlich etwa gleichmäßige Gitteranordnungen keine geeigneten Punktmengen. Die effizientesten Erzeugungsmethoden verwenden Eigenschaften von Ziffernentwicklungen. Im abgeschlossenen Projekt wurden verschiedene Ansätze für die Erzeugung solcher hochdimensionalen sehr gut verteilten Punktmengen entwickelt und analysiert. Diese Analysen führten häufig auch zu grundlegenden Fragestellungen aus dem Bereich der Zahlentheorie, insbesondere über Ziffernsummen von Zahlen in verschiedenen Basen. Im Rahmen des Projekts wurden 33 Publikationen in internationalen Fachzeitschriften von insgesamt 9 während der Laufzeit am Projekt beteiligten ForscherInnen (davon 4 Frauen) publiziert.