Diskrete Flächen mit Anwendungen in der Architektur

In den letzten Jahren hat die Verwendung von Freiformflächen in der Architektur, im konstruktiven Ingenieurbau und im industriellen Design stark zugenommen. Dies bringt für die Planung und auch die Umsetzung neue Probleme mit sich, da das Biegen und Verformen von Paneelen aus Verbundsicherheitsglas und anderen plastisch schwer verformbaren Materialen zum Verkleiden von Konstruktionen zum Teil nicht machbar, teuer oder sehr kompliziert ist. Prominente Architektur- und Ingenieurbüros wie Gehry Partners und Schlaich Bergermann und Partner bevorzugen die Verwendung von ebenen Vierecksnetzen anstatt der bis jetzt oft üblichen Dreiecksnetze. Überdies werden in der Architektur häufig mehrschichtige Konstruktionen verwendet. Daher muss die Ebenflächigkeit der Maschen der diskreten Geometriedarstellung für alle Schichten gelten. Diese praktischen Anforderungen führen auf die Frage nach diskreten Flächendarstellungen mit ebenflächigen Vierecksmaschen, aber auch auf Probleme der Modellierung solcher diskreter Flächen und der Approximierbarkeit von Freiformflächen durch derartige Netze. Der mehrschichtige Aufbau der Konstruktionen führt auf die Frage nach jenen Vierecksnetzen mit ebenen Maschen, welche Netze derselben Art als diskrete Parallelflächen besitzen. Den mathematischen Hintergrund dieses Forschungsvorhabens bildet eine Verknüpfung von diskreter Differentialgeometrie mit angewandter Kugelgeometrie und geometrischer Optimierung. Es zeigt sich, dass bei der Behandlung der vorliegenden Probleme die diskreten Analoga zu den Netzen aus Krümmungslinien einer Fläche besondere Bedeutung besitzen. Obwohl die diskrete Differentialgeometrie eine aufstrebende Disziplin innerhalb der Mathematik darstellt, sind diese speziellen Vierecksnetze bislang nur recht unvollständig untersucht. Vorarbeiten zu diesem Projekt haben gezeigt, dass diskrete Krümmungsliniennetze im Sinne der Möbiusgeometrie und im Sinne der Laguerreschen Kugelgeometrie definiert werden können. Der Möbius-geometrische Zugang ist schon teilweise untersucht, der Laguerre-geometrische hat bis jetzt noch keine Beachtung gefunden. Im Hinblick auf die Anwendbarkeit bei mehrschichtigen Konstruktionen ist aber die letztere Art von Netzen von größerer Bedeutung, da sich diese diskreten Krümmungsliniennetze unmittelbar auf die Parallelflächen vererben. Auch aus ästhetischer und statischer Sicht sind diese Kurvennetze von großer Bedeutung. Die Hauptziele dieses Forschungsprojektes sind neben der Untersuchung der diskreten Analoga zu Netzen aus Krümmungslinien die Entwicklung von Algorithmen zur Approximation von Flächen mit ebenmaschigen Vierecksnetzen. Besonderes Augenmerk soll auch auf das Design solcher Vierecksnetze durch nichtlineare Unterteilungsalgorithmen gelegt werden. Dies liefert als Sonderfall eine neue Methode zum interaktiven Design abwickelbarer Flächen. Letztere spielen im architektonischen Entwurf freier Formen ebenfalls eine wichtige Rolle. Bei der Formoptimierung sollen neben ästhetischen Gesichtspunkten auch Aspekte der Statik und Fertigung berücksichtigt werden.

In den letzten Jahren hat die Verwendung von Freiformflächen in der Architektur, im konstruktiven Ingenieurbau und im industriellen Design stark zugenommen. Dies bringt für die Planung und auch die Umsetzung neue Probleme mit sich, da das Biegen und Verformen von Paneelen aus Verbundsicherheitsglas und anderen plastisch schwer verformbaren Materialen zum Verkleiden von Konstruktionen zum Teil nicht machbar, teuer oder sehr kompliziert ist. Prominente Architektur- und Ingenieurbüros wie Gehry Partners und Schlaich Bergermann und Partner bevorzugen die Verwendung von ebenen Vierecksnetzen anstatt der bis jetzt oft üblichen Dreiecksnetze. Überdies werden in der Architektur häufig mehrschichtige Konstruktionen verwendet. Daher muss die Ebenflächigkeit der Maschen der diskreten Geometriedarstellung für alle Schichten gelten. Diese praktischen Anforderungen führen auf die Frage nach diskreten Flächendarstellungen mit ebenflächigen Vierecksmaschen, aber auch auf Probleme der Modellierung solcher diskreter Flächen und der Approximierbarkeit von Freiformflächen durch derartige Netze. Der mehrschichtige Aufbau der Konstruktionen führt auf die Frage nach jenen Vierecksnetzen mit ebenen Maschen, welche Netze derselben Art als diskrete Parallelflächen besitzen. Den mathematischen Hintergrund dieses Forschungsprojekts bildet eine Verknüpfung von diskreter Differentialgeometrie mit numerischer Optimierung. Es zeigte sich, dass wesentliche Forderungen aus der Praxis in Konzepte der diskreten Differentialgeometrie übersetzt werden können und damit Lösungsansätze gefunden werden konnten. Die algorithmische Umsetzung erfolgt dann mittels geeigneter Verfahrung der numerischen Optimierung, wobei das geometrische Verständnis für die Initialisierung der Optimierung von besonderer Bedeutung ist. Aus der Perspektive der Anwendungen in der Architektur sind die Hauptergebnisse dieses Forschungsprojektes Methoden und Algorithmen zum Entwurf von Vierecksnetzen mit ebenen Maschen, von Tragstrukturen mit optimierten Knoten und der damit im Zusammenhang stehenden Mehrschichtaufbauten. Aus der Sicht der Mathematik ergaben sich neue Ergebnisse in der diskreten Differentialgeometrie, welche durch die architektonische Anwendung motiviert wurden, wie etwa eine neue Krümmungstheorie für Polyeder-Flächen oder neue bemerkenswerte Netze mit Offset-Eigenschaften und interessanten Querverbindungen zur Kugelgeometrie.