Nicht normale Operatoren und zufällige Störungen

In moderner mathematischer Physik trifft man häufig auf die mathematische Theorie von partiellen Differentialgleichungen. Diese kann mitunter zur Modellierung von Quantensystem, wie zum Beispiel jenes eines Elektrons in einem elektrischen oder magnetischen Feld, verwendet werden. Die zentralen Objekte, welche solche System beschreiben, heißen partielle Differentialoperatoren. Eine ihrer fundamentalen Größen ist das Spektrum, welches die möglichen Energieniveaus eines Quantensystems beschreibt, wie sie in einem Labor gemessen werden können. Das Spektrum einer gewissen Kategorie solcher Operatoren, die wir nicht normale Operatoren nennen, ist höchst instabil unter selbst schwächsten Störungen des Operators. Diese Operatoren finden zum Beispiel in der Beschreibung des Langzeitverhaltens eines Quantenteilchens, das einem dissipativem Mechanismus unterworfen ist, oder auch in Modellen für Fluiddynamik Ver- wendung. Spektrale Instabilität ist traditionell eher ein Gegenspieler. Zum Beispiel in der numerischen Analy- sis, wenn man das Spektrum eines nicht normalen Operators numerisch bestimmen will. Die vom Computer verursachten Rundunsfehler können zu einer schwachen Störung des eigentlichen Op- erators führen, was die Präzision und Stabilität des verwendeten Algorithmus auf Grund der spek- tralen Instabilität stark beeinträchtigen kann . Um dieses Phänomen von spektraler Instabilität besser zu verstehen, untersuchen wir die Auswir- kungen von schwachen zufälligen Störungen auf die Spektrum solcher Operatoren. Dabei inter- essieren wir uns vor allem für die mittlere Verteilung der Eigenwerte - der Punkte im Spektrum - und für ihre statistische Wechselwirkung, d.h. wir untersuchen ob sich diese Eigenwerte im Mittel anziehen, abstoßen oder ob sie ohne Korrelation zu einander verteilt sind. In diesem hier vorliegenden Projekt werden wir in Zusammenarbeit mit Maciej Zworski (University of California, Berkley) und Lazlo Erdös (Institute of Science and Technology Austria) die Universal- ität der mikroskopische Statistik der Eigenwerte solcher zufällig gestörter Operatoren zu beweisen. Das heißt, zuerst zoomen auf das Niveau des mittleren Abstandes zwischen den Eigenwerten um ihre mikroskopische Feinstruktur aufzudecken. Anschließend erforschen wir ihre statistischen Ei- genschaften. Unser Hauptziel dabei ist es zu beweisen, dass die statistische Verteilung der Eigenwerte unabhängig von den genauen Eigenschaften des ungestörten Operators ist und ausschließlich durch die zugrundeliegenden Symmetrien bestimmt ist. Dieses Forschungsgebiet is relativ neu und es wurden kürzlich aufregende Fortschritte erzielt. Es hat allerdings seine Wurzeln in wohl bekannten mathematischen Theorien wie die Spektraltheorie von partiellen Differenzialoperatoren und die Wahrscheinlichkeitstheorie und wir werden Methoden aus beiden Gebieten kombinieren sowie neu entwickeln müssen um die Fragen unseres Projektes zu beantworten.

Spektralstatistik von nicht-normalen Operatoren und schwache zufällige Störungen In der modernen mathematischen Physik trifft man häufig auf die mathematische Theorie von partiellen Differentialgleichungen. Diese können mitunter zur Modellierung eines Quantensystems, wie zum Beispiel jenes eines Elektrons in einem elektrischen oder magnetischen Feld, verwendet werden. Die zentralen Objekte, welche solche Systeme beschreiben, heißen partielle Differentialoperatoren. Eine ihrer fundamentalen Größen ist das Spektrum, welches mögliche Energieniveaus eines Quantensystems beschreiben kann, so wie sie in einem Labor gemessen werden können. Das Spektrum eines gewissen Typus solcher Operatoren ist höchst instabil unter selbst schwächsten Störungen des Operators. Solche Operatoren erscheinen zum Beispiel in der Beschreibung des Langzeitverhaltens eines Quantenteilchens, das einem dissipativem Mechanismus unterworfen ist, oder auch in Modellen für die Dynamik von Flüssigkeiten. Um die generischen spektralen Eigenschaften solcher Operatoren besser zu verstehen, untersuchen wir in diesem Projekt die Auswirkungen von schwachen zufälligen Störungen auf ihre Spektra. Dabei interessieren wir uns vor allem für die Verteilung der Eigenwerte die Punkte im Spektrum - im statistischen Mittle, und ihre statistische Wechselwirkung, d.h. wir wollen untersuchen ob sich die Eigenwerte im Mittel anziehen, abstoßen, oder ob sie unabhängig voneinander verteilt sind. Diese Fragestellungen für zufällige Operatoren haben eine lange Geschichte und gehen bis ins frühe 20 Jhdt zurück. Zufällige Störungen zu benutzen, um die generischen spektralen Eigenschaften von deterministischen spektral instabilen Operatoren zu untersuchen, ist jedoch ein sehr aktuelles und aktives Thema. In diesem Projekt haben wir die Universalität der mikroskopischen Statistik von Eigenwerten zufällig gestörter Operatoren untersucht. Das heißt, dass wir zuerst den Abstand zwischen den Eigenwerten auf das Niveau ihres mittleren Abstandes rescalieren, um ihre mikroskopische Feinstruktur aufzudecken. Anschließend erforschen wir ihre statistischen Eigenschaften. Dabei haben wir entdeckt, dass die statistische Verteilung der Eigenwerte unabhängig von den genauen Eigenschaften des ungestörten Operators ist und ausschließlich durch die zugrundeliegende Struktur des Operators und die Struktur der Störung bestimmt ist.