Robuste Löser für die Optimierung unter PDE-Nebenbedingungen

In dem vorgeschlagenen Projekt sollen schnelle numerische Verfahren zur Lösung von Optimierungsproblemen mit partiellen Differentialgleichungen als Nebenbedingungen ("PDE-constrained optimization") entwickelt und analysiert werden. Zu dieser Klasse von Problemen gehören u.a. Optimalsteuerungsprobleme, Designoptimierungsprobleme und Topologieoptimierungsprobleme. Wir werden uns auf die Klasse der Optimalsteuerungsprobleme konzentrieren. Der Antragsteller hat in seiner bisherigen Arbeit die optimale Steuerung elliptischer partieller Differentialgleichungen betrachtet. Die Lösung eines solchen Optimierungsproblems ist durch das Optimalitätssystem charakterisiert. Wird dieses System diskretisiert, erhalten wir ein großes, dünnbesetztes und indefinites lineares Gleichungssystem. Für solche Probleme sind schnelle iterative Löser die Methode der Wahl. Eine wesentliche Eigenschaft, die ein solcher Löser zeigen soll, ist Robustheit. Das Optimierungsproblemen selbst hängt bereits von einem Parameter ab, der als Regularisierungsparameter oder Kostenparameter interpretiert werden kann. Wir wissen, dass die Konditionszahl des linearen Systems steigt, wenn der Parameter gegen Null geht. Das würde typischerweise zu sich verschlechternden Konvergenzraten führen. Ein zweiter Parameter tritt bei der Diskretisierung auf: die Gittergröße bzw. der Gitterlevel. Auch bei Verfeinerung des Gitters steigt die Konditionszahl des Problems. Wir sind an einem iterativen Verfahren interessiert, bei dem die Iterationszahl von diesen Parametern unabhängig ist. Für Standardprobleme erhalten wir Robustheit in der Gittergröße insbesondere bei Einsatz von hierarchischen Methoden, wie Mehrgitterverfahren. Um ein solches Verhalten auch für ein Optimalsteuerungsproblem zu erhalten, haben wir einige Ansätze zur Verfügung. Eine Möglichkeit ist, Mehrgitterverfahren als Teil eines Block-Vorkonditionierers zu verwenden, der im Rahmen einer äußeren Iteration, wie einem Krylovraumverfahren, verwendet wird. Eine Alternative besteht darin, die Mehrgitteridee direkt auf das gesamte Block-System anzuwenden ("all-at-once approach"). Beide Ansätze wurden bereits erfolgreich auf die Optimierung elliptischer Differentialgleichungen angewandt. Das Ziel des vorgeschlagenen Projekts ist die Entwicklung solcher Methoden auch für andere Optimalsteuerungsprobleme. Diese Probleme können aus anderen Zustandsgleichungen, wie beim der optimalen Steuerung eines der Stokesgleichungen, einer elastischen Deformation oder der Maxwell-Gleichungen bestehen. Ein anderer interessanter Aspekt ist die Behandlung von Schranken für Kontrolle oder Zustand. Die angesprochenen Probleme sind linear, werden jedoch durch die Schranken zu nichtlinearen Problemen. Die oben besprochenen Methoden können einerseits auf die linearen Probleme, andererseits auf die Linearisierungen der nicht-linearen Probleme angewendet werden. Die Lösung solcher linearisierten Probleme ist bei Verwendung von newtonartigen Verfahren erforderlich. Besonders bei solchen linearsierten Probleme kann eine Vielzahl von Parametern (wie z.B. Strafparameter) auftreten, hinsichtlich derer wir Robustheit anstreben.

Der Forschungsschwerpunkt des Projekts lag in der Entwicklung (und Analyse) schneller Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme, die sich aus der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen (PDEs) ergeben, wobei der Fokus auf dem Aspekt der Robustheit des Lösers lag. Solche Löser sind zum Beispiel in der Physik oder den Ingenieurwissenschaften von Interesse, wo viele Vorgänge, wie Wärmeleitung oder die Strömung eines Gases, durch PDEs modelliert werden. Wollen wir hier nun mit Simulationsrechnung ansetzen, müssen wir die PDE lösen. Dies ist mit der Finiten Elemente Methode (FEM) und einem Computer möglich. Dabei muss ein großes, aber dünnbesetztes lineares Gleichungssystem gelöst werden.Der Stipendiat selbst arbeitete vor dem Projektbeginn an Lösern für die optimale Steuerung von PDEs. Hierbei wird versucht, durch gewisse äußere Einflüsse, wie Wärmequellen, den Zustand eines Objekts, etwa die Wärmeverteilung, möglichst gut an einen Zielzustand heranzubringen. Dies kann als Optimierungsproblem gesehen werden, wo die Wärmeleitungsgleichung, die eine PDE ist, eine Nebenbedingung bildet. Bei Projektbeginn machte sich der Stipendiat daran, die Methoden auf die Steuerung der Stokes-Gleichungen zu erweitern, die bei der Simulation von Strömungen Anwendung finden, und als anspruchsvoller gelten. Das Optimierungsproblem hängt von einem Parameter ab, der als Regularisierungsparameter interpretiert werden kann. Wir wissen, dass die Konditionszahl des Problems steigt, wenn der Parameter gegen Null geht. Das würde typischerweise zu sich verschlechternden Konvergenzraten führen, was die Simulationsrechnung verlangsamen würde. Ein zweiter Parameter tritt bei der Diskretisierung auf: die Gittergröße. Auch bei Verfeinerung des Gitters steigt die Konditionszahl des Problems. Die angesprochene Robustheit bedeutet nun, dass wir an einem iterativen Verfahren interessiert sind, bei dem die Iterationszahl von diesen Parametern unabhängig ist. Für Standardprobleme erhalten wir Robustheit in der Gittergröße beim Einsatz von Mehrgitterverfahren. Ziel war es nun, nach der Idee der Mehrgitterverfahren einen konkreten Lösungsalgorithmus für das Stokes control problem zu entwickeln, der nicht nur Robustheit in der Gittergröße, sondern auch Robustheit im Regularisierungsparameter zeigt. Wie auch bei der Steuerung der Wärme leitungsgleichung zeigte sich, dass die Erzielung der Robustheit im Regularisierungsparameter die anspruchsvollere Aufgabe war, die jedoch im Projekt erfolgreich gelöst werden konnte.Die Frage der Robustheit stellte auch in einem anderen Zusammenhang: im Bereich der isogeometric analysis (IgA). Hier werden zur Darstellung der Lösung nicht, wie sonst üblich, stückweise lineare Funktionen verwendet, sondern Splines. Hierbei handelt es sich um stückweise Polynome, die so gewählt werden, dass die Funktion selbst sehr glatt ist. IgA erlangte in den letzten Jahren, auch in den Ingenieurwissenschaften, immer größere Aufmerksamkeit. Ein offenes Problem im Bereich der IgA war die robuste Lösung der linearen Gleichungssysteme.Auch hier war die Robustheit in der Gittergröße kein Problem, sondern die im Polynomgrad. Im Zuge des Projektes konnte auch hier ein Durchbruch erzielt werden. Zuerst gelang es, robuste Approximationsfehlerabschätzungen für Splines zu beweisen. Gleichzeitig wurde gezeigt, dass nur Splines mit bestimmten Randeffekten die zugehörige inverse Ungleichung verletzen, wodurch es möglich war, das erste robuste Mehrgitterverfahren für IgA zu entwickeln.