Ljapunov Funktionen und semialgebraische Geometrie

Die Entwicklung neuer leistungsfaehiger rechnergestuetzter Werkzeuge gewinnt zunehmend an Bedeutung in der Wissenschaft und im Ingenieursbereich. Neu entwickelte Methoden aus dem Bereich der semialgebraischen Geometrie, so genannte semidefinite Programmierung und Summe von Quadraten Methoden (SDP-SOS Methoden), haben kuerzlich zu herausragenden Ergebnissen in der Regelungstechnik und zu sehr viel versprechenden neuen Analyseansaetzen fuer dynamische Systeme gefuehrt. So ist es zum Beispiel mit SDP-SOS Methoden zum Ersten mal gelungen, eine effiziente und globale Stabilitaetsanalyse fuer nichtlineare Systeme zu entwickeln. Jedoch haben diese neuen Analysemethoden noch viele Nachteile. Insbesondere sind diese Methoden nur fuer kleine Probleme (geringe Komplexitaet) einsetzbar und daher nicht fuer den industriellen Einsatz tauglich. Des weitern existieren bis jetzt hauptsaechlich Methoden, die nur Stabilitaetsfragen untersuchen. Fuer andere wichtige Probleme aus der Praxis wurden bis jetzt nur wenige Methoden entwickelt. Zum Beispiel ist ein sehr wichtiges aber bis jetzt ungeloestes Problem die rechnergestuetzte Analyse von dynamischen Systemen welche durch externe oszillierende Signale erregt werden. Dieses Problem tritt in vielen Anwendungen in Wissenschaft und Industrie auf, wie zum Beispiel bei der Analyse von Schwingungen in mikroelektromechanischen Systemen (MEMS). Genau an den oben genannten Problemen greift dieses Forschungsprojekt ein. Das Hauptziel dieses Forschungsprojekts ist die Entwicklung neuartiger Analysemethoden fuer praxisrelevante dynamische Systeme. Das Forschungsprojekt hat insbesondere zwei Ziele: Erstens sollen neue Methoden entwickelt werden, mit deren Hilfe man insbesondere dynamische Systeme, welche durch externe oszillierende Signale erregt werden, analysieren kann. Die Idee ist dabei so genannte verallgemeinerte (indefinite) Ljapunow Funktionen und SDP-SOS Methoden zu verwenden. Zweitens soll die Effizienz der Analysemethoden soweit gesteigert werden, dass diese Methoden auch auf komplexe Systeme aus Wissenschaft und Industrie angewendet werden koennen. Im Mittelpunkt des Forschungsprojekts steht somit die Integration von modernen rechnergestuetzten mathematischen Methoden aus der semialgebraischen Geometrie und der Regelungstechnik. Die entwickelten Methoden finden moegliche Anwendung in Bereichen wie Regelung von Internetprotokollen, MEMS, Quanten Systemen, und biologischen Netzwerken.