Forcing, Fusion und die Kombinatorik offener Überdeckungen

Das Ziel dieses Projekts ist eine Untersuchung der Interaktion von kombinatorischen Überdeckungseigenschaften mit der Forcing-Methode. Kombinatorische Überdeckungseigenschaften, in der Literatur auch als Auswahlprinzipien bekannt, wurden im Zuge der Untersuchung spezieller Teilmengen der reellen Zahlen entwickelt. Mit ihrer Hilfe konnten Mathematiker zahlreiche alte Probleme der Topologie und der Masstheorie lösen, weswegen sie in Standardlehrtexten der Topologie, z.B. in Kuratowskis Buch, behandelt werden. Heute ist sie zu einer bemerkenswert tiefen Teildisziplin der allgemeinen Topologie herangewachsen, mit zahlreichen Verbindungen zur Mengenlehre und zur Masstheorie. Die Theorie der Auswahlprinzipien wurde von Scheepers vor 20 Jahren gestartet, und ermöglicht eine moderne Betrachtung dieser speziellen Teilmengen der reellen Zahlen, indem sie diese in einem breiteren, einheitlichen Rahmenuntersucht. Die uniformeBehandlung vieler,scheinbar grundverschiedener mathematischer Eigenschaften, die durch die Auswahlprinzipien gewährleistet wird hat nicht nur den ästhetischen Effekt die Untersuchungen schöner erscheinen zu lassen, sondern schafft eine neuartige Sichtweise, die die wesentlichen Punkte klassischer Probleme betont, und so zu deren Lösung beiträgt. Die zweite Technik, die in dem Projekt verwendet wird, ist die von P. Cohen 1964 entwickelte Forcing-Methode, die zeigt, dass die berühmte Kontinuumshypothese unabhängig von den klassischen ZFC Axiomen ist. Diese Technik hat sich in der Folge als überaus flexibel erwiesen um neue Modelle von ZFC zu konstruieren und eine Vielzahl an Unabhängigkeitsresultaten zu erzielen. Die zugrundeliegende Idee ist, ein bestehendes mengentheoretisches Universum durch die Hinzunahme eines neuen, generischen Elements zu erweitern, um ein neues, größeres Universum mit anderen Eigenschaften zu erhalten. Die letzten Jahrzehnte haben eine Vielzahl an interessanten Anwendungen dieser Methode auf andere Bereiche der Mathematik (Algebra, Analysis, Masstheorie, Topologie, etc.) hervorgebracht. Bis vor kurzem gab es jedoch nur sehr isolierte Anwendungen der Forcing-Methode auf Auswahlprinzipien. Wir erwarten aber, dass dessen ungeachtet eine reichhaltige Theorie von solchen Anwendungen existiert und haben bereits einige Resultate in dieser Richtung wie Erhaltungssätze für Produkte in den klassischen Modellen von Laver und Miller bewiesen. Diese Resultate deuten auf ein allgemeineres Phänomen hin, nämlich, dass Fusion das Verhalten der Auswahlprinzipien beeinflusst. Betrachtetman umgekehrt die Anwendung der Ideen der Auswahlprinzipien auf Forcingkonstruktionen so scheint das erste Resultat erst in 2015 in unserer Arbeit mit Chodounsky erbracht zu sein. Es ist geplant diese eingeschlagene Richtung noch weiter zu erforschen. In unserer Kollaboration werden sowohl die österreichische als auch die slowenische Seite ihre mengentheoretische und topologische Expertise beisteuern, beides Gebiete von fundamentaler Bedeutung für das Projekt. Neben der Lösung offener Probleme planen wir auch zu einem tieferen Verständnis der verwendeten Methoden beizutragen. Insbesondere ist es unsere Hoffnung Eigenschaften von Forcings und Auswahlprinzipien zu isolieren, die für die bereits beschriebenen Fragestellungen relevant sind.

Das Ziel dieses Projekts war eine Untersuchung der Interaktion von kombinatorischen Überdeckungseigenschaften mit der Forcing-Methode. Kombinatorische Überdeckungseigenschaften, in der Literatur auch als Auswahlprinzipien bekannt, wurden im Zuge der Untersuchung sogenannter spezieller Teilmengen der reellen Zahlen entwickelt. Mit Hilfe dieser Teilmengen konnten zahlreiche alte Probleme der Topologie und der Maßtheorie gelöst werden, weswegen sie in Standardlehrtexten der Topologie, z.B. in Kuratowskis Buch, behandelt werden. Über die Jahre ist die Untersuchung der Auswahlprinzipien zu einer bemerkenswert tiefen Teildisziplin der allgemeinen Topologie herangewachsen. Heute sind zahlreiche Verbindungen der Auswahlprinzipien zur Mengenlehre und zur Maßtheorie bekannt. Die zweite Technik, die in dem Projekt verwendet wird, ist die Forcing-Methode, die von P. Cohen 1964 entwickelt wurde, um zu zeigen, dass die berühmte Kontinuumshypothese von den klassischen ZFC Axiomen unabhängig ist. In der Folge hat sich die Forcing-Methode als überaus zweckdienlich erwiesen, um neue Modelle von ZFC zu konstruieren und eine Vielzahl an Unabhängigkeitsresultaten zu erzielen. In den letzten Jahrzehnten wurde eine Vielzahl an interessanten Anwendungen der Forcing-Methode auf andere Bereiche der Mathematik (Algebra, Analysis, Maßtheorie, Topologie, etc.) gefunden. Bis vor kurzem gab es jedoch nur vereinzelte Anwendungen der Forcing-Methode in der Untersuchung von Auswahlprinzipien. Unsere Ergebnisse, die im Rahmen der Arbeit an dem Projekt erzielt wurden, zeigen, dass eine reichhaltige Theorie von solchen Anwendungen existiert. Unsere Resultate in dieser Richtung beinhalten Erhaltungssätze für Produkte in den klassischen Modellen von Laver und Miller. Einige dieser Erhaltungssätze betreffen auch lokale Eigenschaften der Funktionsräume. Mit unseren neuen Resultaten hat sich auch unsere Vermutung zu einem allgemeineren Phänomen bestätigt, nämlich, dass die sogenannte Fusion das Verhalten der Auswahlprinzipien beeinflusst. Weiters konnten wir Ideen aus der Untersuchung der Auswahlprinzipien in Forcingkonstruktionen anwenden. Diese Anwendungen bauen auf unseren Resultaten aus dem Jahr 2015 auf, insbesondere was die Frage der Zerstörung von maximalen fast disjunkten Familien angeht. In unserer Kollaboration haben sowohl die österreichische als auch die slowenische Seite ihre Expertisen aus der Mengentheorie und der Topologie beigesteuert. Beide Gebiete waren von fundamentaler Bedeutung für das Projekt. Neben der Lösung offener Probleme haben wir auch Fortschritte in Richtung der Isolierung der (für die in den oben beschriebenen Ergebnissen) relevanten Eigenschaften der Forcings und Auswahlprinzipien erzielt.