Anwendung jüngster Resultate der Proximal Theorie jenseits der Komfortzone

Mit diesem Forschungsprojekt verfolgen die Antragsteller einerseits die Fortführung ihrer mehr als fünfzehnjährigen fruchtbarenwissenschaftlichen Zusammenarbeitund möchten gleichzeitig drei Nachwuchswissenschaftlern eine Beschäftigungsmöglichkeit auf aktuellen und modernen Gebieten der Optimierung und der Angewandten Funktionalanalysis bieten. Das Hauptziel des Projektes, welches auf den Ergebnissen eines kürzlich erfolgreich beendeten DFG-Projektes eines der Antragsteller beruht, ist die Verallgemeinerung und Erweiterung einiger klassischer Techniken zur iterativen Minimierung konvexer Funktionen in Hilberträumen auf Forschungsfelder, die jenseits ihrer Komfortzone liegen. Diese bisher entwickelten Methoden gruppieren sich um das Konzept der sogenannten Proximalität, welche auf der Auswertung und Behandlung einer geeigneter Regularisierung des zu behandelnden mathematischen Objektes beruht. Die Zuverlässigkeit, Einfachheit und Genauigkeit dieses Konzeptes erlaubte in jüngster ZeitdieeffektiveLösungeinerVielzahl komplexernichtdifferenzierbarer konvexer Optimierungsprobleme und monotoner Inklusionsprobleme mit zahlreichen praktischen Anwendungen insbesondere im Bereich hochdimensionaler und großer Datenmengen. Fünf Forschungsziele sollen mit dem Projekt angesprochen werden. Diese erstrecken sich von der Erweiterung des Proximalitäts-Paradigmas mittels allgemeinerer Distanzbegriffe, mit welchen die angesprochene Regularisierung realisiert werden soll, und bezüglich allgemeinerer Klassen von Funktionen und Räumen, über die Untersuchung von multikriteriellen Optimierungsproblemen hinsichtlich direkter Lösungen, bis hin zur Behandlung von monotonen Inklusionsproblemen via impliziten dynamischen Systemen erster und zweiter Ordnung. Die angestrebtenResultatewerdenfruchtbare Auswirkungeneinerseits auf die Behandlung von Aufgabenstellungen aus verschiedenen Gebietender Mathematik, wie gewöhnliche undpartielle Differentialgleichungen, Optimale Steuerung, Funktionalanalysis, Spiel- und Gleichgewichtstheorie und die Theorie des optimalen Transports haben, und andererseits auch reale praktische Anwendungen etwa auf den Feldern der Bildverarbeitung, des maschinellen Lernens, der optimalen Standortwahl, der Risikoquantifizierung, der Netzwerkkommunikation und der Videobearbeitung ermöglichen.

Viele für die heutige wissenschaftliche und technologische Entwicklung der Gesellschaft relevanten Probleme führen zu hochdimensionalen Optimierungsproblemen mit komplexen Strukturen, für deren Lösung spezifische numerische Algorithmen entwickelt werden müssen. Dies umfasst Probleme zur Bestimmung des optimalen Standortes, der Signalverarbeitung, das maschinellen Lernens, der Risikoquantifizierung, der Netzwerkkommunikation, der Spieltheorie und der Energiemärkte. Der wesentliche Fokus dieses Projekts lag auf der Entwicklung deterministischer aber auch stochastischer numerischer Methoden für nichtglatte konvexe und nichtkonvexe Optimierungsprobeme, der theoretischen Untersuchung von deren Konvergenzeigenschaften und deren Validierung durch numerische Experimente. Die theoretischen Überlegungen standen im Zusammenhang mit Fragen wie unter welchen Annahmen die vorhandenen Algorithmen konvergieren, möglicherweise mit nachweisbaren Konvergenzraten, wie man ein verbessertes Konvergenzverhalten erzielt oder wie man die deterministischen Methoden auf ein stochastisches Setting ausweitet. Im Rahmen des Projekts wurden unterschiedliche mathematische Ansätze angewendet: die Theorie maximal monotoner Operatoren und die Lösung monotoner Inklusionen; die asymptotische Analyse dynamischer Systeme erster und zweiter Ordnung, deren Trajektorien auf die Menge der Lösungen/kritischen Punkte eines Optimierungsproblems abzielen; die Theorie der KL-Funktionen, die die globale Konvergenz von Algorithmen für nichtkonvexe Optimierungsprobleme gewährleisten. Das Hauptanwendungsfeld war maschinelles Lernen und Data Science, wofür neue numerische Methoden für das Training von "Deep Neural Networks", insbesondere von "Generative Adversarial Networks" bereitgestellt wurden. Einige der entwickelten numerischen Methoden wurden in der Zusammenarbeit mit zwei österreichischen Partnern aus der Industrie aus dem Automobil- und Energiesektor angewendet und implementiert. Das Projekt wurde in Zusammenarbeit mit der Forschungsgruppe Approximationstheorie der Technischen Universität Chemnitz, die von der Deutschen Forschungsförderungsgemeinschaft finanziert wurde, durchgeführt. Zwei Doktoranden und ein PostDoc wurden an der Universität Wien angestellt und eine Doktorandin an der Technischen Universität Chemnitz. Die beiden Doktoranden in Österreich haben bereits erfolgreich abgeschlossen, während die Doktorandin in Deutschland ihr Doktoratsstudium bald abschließen wird. Der PostDoc hat erfolgreich ein Nachfolgeprojekt beantragt. Im Rahmen des Forschungsprojekts wurden insgesamt 19 Publikationen veröffentlicht, der Großteil davon wurde in hochrangigen Journalen im Bereich Optimierung und Angewandte Mathematik publiziert. Viele dieser erzielten bereits innerhalb kurzer Zeit eine große Anzahl an Zitierungen. Die Ergebnisse wurden vom Hauptantragsteller und den Projektmitgliedern auf wichtigen internationalen Konferenzen und Workshops präsentiert, oftmals in Form von Keynote-Präsentationen. Außerdem fand ein abschließender Workshop der 20 Mitglieder und Forschungspartner der Forschungsgruppe des PIs statt, der eine Bühne zur Präsentation der im Rahmen des Projekts erzielten Ergebnisse bot.