Enumerative Geometrie von Charaktervarietäten

Dieses Projekt untersucht eine Klasse geometrischer Räume, die sogenannten Charaktervarietäten. Diese beschreiben, wie die Form oder Topologie einer Fläche von ihren Symmetrien bestimmt wird. Diese Symmetrien werden durch mathematische Objekte, sogenannte Lie-Gruppen, beschrieben, die für die Untersuchung kontinuierlicher Transformationen in Geometrie und Physik von grundlegender Bedeutung sind. Der Schwerpunkt des Projekts liegt auf Charaktervarietäten, die als Modulräume von Vektorbündeln und parabolischen Higgs-Bündeln auftreten. Diese Räume spielen in vielen Bereichen der modernen Mathematik und theoretischen Physik eine Rolle, darunter in der abzählenden Geometrie, der Stringtheorie und der nichtabelschen Eichtheorie. Sie bieten einen Rahmen für die Untersuchung der Variation und Interaktion komplexer geometrischer und physikalischer Strukturen. Das zentrale Ziel des Projekts ist es, unser Verständnis dieser Modulräume durch die Berechnung wichtiger mathematischer Invarianten zu vertiefen, wie z. B. Betti-Zahlen der Schnittkohomologie, die Poincaré-Paarung in der Schnittkohomologie singulärer Modulräume und Euler-Charakteristiken von Linienbündeln über Modulräumen (parabolischer) Higgs-Bündel. Diese Größen offenbaren wesentliche geometrische und topologische Merkmale, die die zugrundeliegende Struktur der Räume sichtbar machen. Während solche Invarianten traditionell mit abstrakten, unendlichdimensionalen Techniken untersucht wurden, verwendet das Projekt einen endlichdimensionalen, rechnerisch zugänglichen Ansatz, der direkte und explizite Berechnungen ermöglicht. Dieser Zugang widmet sich nicht nur langjährigen Herausforderungen auf diesem Gebiet und bietet neue Perspektiven auf die komplexe Geometrie von Modulräumen von Higgs-Bündeln, sondern könnte auch zu spannenden neuen Entdeckungen in der Mathematik und der mathematischen Physik führen.