Effektive Theorien für quasikristalline Mikrostrukturen

Eine in der Materialwissenschaft weit verbreitete Klasse sind heterogene Medien. Auf mikroskopischer Ebene bestehen sie aus zwei oder mehr Bestandteilen, aber auf makroskopischer Ebene verhalten sie sich wie ein homogenes Material, dessen Eigenschaften durch Mittelung der Eigenschaften der einzelnen Bestandteile ermittelt werden können. Die rigorose Untersuchung des effektiven oder makroskopischen Verhaltens heterogener Medien ist der Kern der Homogenisierungstheorie. Aufgrund der Komplexität und der großen Vielfalt an Mikrostrukturen ist die Periodizität eine entscheidende Modellierungsannahme. Damit ist gemeint, dass die Feinstruktur aus einer Einheitszelle besteht, die sich periodisch wiederholt. Eine solche Annahme ermöglicht, das effektive Verhalten vieler heterogener Materialien zufriedenstellend zu analysieren. Dafür ist die so genannte periodische Homogenisierung inzwischen eine gut etablierte Theorie. Periodizität ist jedoch nicht die einzige mögliche Anordnung. Tatsächlich spielt der Zufall eine Schlüsselrolle bei der Charakterisierung der makroskopischen Eigenschaften eines heterogenen Materials, dessen Mikrostruktur kein geordnetes Muster aufweist. In den letzten Jahren hat sich eine neue Anordnung feiner Strukturen herausgebildet: die quasi-kristalline oder quasi-periodische Mikrostruktur. Sie unterscheidet sich von der zufälligen Anordnung durch eine geordnete Mikrostruktur. Sie ist zudem nicht periodisch, da sie für periodische Strukturen verbotene Symmetrien aufweist, wie 5-, 7-, 8- und 10-fache Symmetrien. Dank dieser besonderen Anordnung weisen quasiperiodische Verbundwerkstoffe außergewöhnliche Eigenschaften auf und finden in vielen verschiedenen Bereichen Anwendung, von der Technik bis zur Materialwissenschaft. Angesichts des breiten Anwendungsspektrums ist es von vorrangigem Interesse, das effektive Verhalten von quasi-periodischen Materialien zu verstehen. Ziel des Projektes ist es, die Grundlagen für die Untersuchung von aperiodischen Mikrostrukturen in verschiedenen Szenarien zu schaffen. Wir werden Probleme mit doppelter Porosität, zweischichtige Verbundwerkstoffe und Phasenübergänge untersuchen. Diese Szenarien wurden aufgrund ihrer Relevanz für Anwendungen und der großen Herausforderungen ausgewählt. Die in der periodischen und stochastischen Homogenisierung entwickelten Techniken sind in der Tat unzureichend, um die effektive Reaktion von quasi-periodischen Materialien zu charakterisieren. Daher sind neuartige Methoden zur Beschreibung dieser Phänomene erforderlich.