Quantitative Methoden für Systeme von polynomiell-exponentiellen Diophantischen Gleichungen

Die effektive Beschreibung der Lösungsmenge eines Systems diophantischer Gleichungen über einem gegebenen Zahlenkörper oder einem Ring ganzer Zahlen ist in den unterschiedlichsten Bereichen gefragt, von der Grundlagenmathematik (Zahlentheorie, algebraische Geometrie) bis zur theoretischen Informatik (Algorithmenverifikation und Quantenautomaten). Eine solche Menge ist mit einfachen elementar-arithmetischen Methoden manchmal schwer zu beschreiben, selbst unter Verwendung tiefgreifender mathematischer Theorien ergeben sich oft knifflige Probleme. Ein Beispiel hierfür ist das berühmte Skolem-Problem, das nach einer "effektiven Beschreibung der Nullstellenmenge in einer gegebenen linearen Rekurrenzfolge" sucht. Diese Frage ist in der Zahlentheorie seit langem offen und geht auf das Jahr 1934 zurück. Das Hauptziel des Forschungsvorhabens ist die Bereitstellung von Algorithmen, die die Lösungsmenge einiger großer Klassen von Systemen diophantischer Gleichungen mit linearen Rekurrenzfolgen, der Beal-Fermat Gleichungen mit der Signatur $(p, p, l)$ oder verwandten diophantischen Approximationsproblemen vollständig beschreiben. Wir planen, diese Algorithmen durch die Kombination bestehender Methoden wie Wiles`s modularem Ansatz, Schmidt`s Teilraumsatz und Baker`s Methode der Linearformen in Logarithmen algebraischer Zahlen zu entwickeln. Als Anwendung planen wir die Entwicklung eines neuen Kryptosystemprotokolls (im Bereich der Cybersicherheit) auf Basis der diophantischen Analysis, da klassische Kryptosysteme durch Quantencomputer gefährdet sind.