Partielle Differentialgleichungen für die Nanotechnologie

Das Thema dieses Projekts ist mathematische Modellierung und Simulation mit Hilfe deterministischer partieller Differentialgleichungen (PDEs) und stochastischer partieller Differentialgleichungen für Mehrskalenprobleme mit konkreten Anwendungen in der Nanotechnologie und für Metamaterialien. Mehrskalenprobleme ergeben sich in den Anwendungen auf natürliche Art und Weise auf Grund der verschiedenen Längenskalen, das heißt, es gibt eine Feinstruktur im Nanometerbereich, während die makroskopische Längenskala der gesamten Strukturen um mehrere Größenordnungen größer ist. Die mathematische Methode zum Lösen von Mehrskalenproblemen ist Homogenisierung. Dieses Projekt vereint mathematische Analysis, Homogenisierung, stochastische Aspekte und die Entwicklung von verbesserten numerischen Methoden. Es gibt eine Reihe von aktuellen und konkreten Anwendungen wie Nanodraht-Sensoren, nanostrukturierte Metamaterialien, zufällig strukturierte Materialien und Graphen und Silizen. Stochastische partielle Differentialgleichungen ermöglichen es, über die Berechnung von Durchschnitten hinauszugehen und folglich Unsicherheiten, Fluktuationen und Rauschen zu quantifizieren. Mathematische Modellierung bedeutet, dass wir die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen der Modellgleichungen beweisen und neue Homogenisierungsprobleme lösen. Die wichtigsten Modellgleichungen sind nichtlineare Poisson-Gleichungen, elliptische Eigenprobleme, die Boltzmann-Transport-Gleichung, die Dirac- Gleichung und Systeme davon. Die betrachteten Gleichungen haben stochastische Koeffizienten und Terme. Beispielsweise sind in zufällig strukturierten Materialien Koeffizienten wie die Permittivität und Permeabilität, die die Materialeigenschaften bestimmen, stochastisch und ergeben nach Homogenisierung nichtlineare Effekte. In Nanodraht-Sensoren sind die Brownsche Molekularbewegung von Biomolekülen, Gasreaktionen und das Einfangen von Ladungen an der Oberfläche Zufallsprozesse, die in den Gleichungen zu stochastischen Termen mit verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Grenzschichten werden und auf neue Homogenisierungsprobleme führen. Ein wichtige Besonderheit ist, dass wir realistische stochastische Prozesse verwenden und über Normalverteilungen als Standardannahme hinausgehen. Weiters hat das Projekt eine starke numerische Komponente, da die Entwicklung von numerischen Algorithmen für Mehrskalenprobleme von stochastischen PDE noch am Anfang ist. Die Entwicklung von numerischen Algorithmen für diese Modelle steht vor der Herausforderung, dass die Diskretisierung der stochastischen Terme Dutzende oder hunderte Dimensionen zu 2D oder 3D Gleichungen hinzufügt; dies wird auch oft der Fluch der Dimensionen genannt. Daher gibt es einen klaren Bedarf an verbesserten Methoden für die Quantifizierung von Unsicherheiten und wir entwickeln numerische Algorithmen basierend auf Resultaten aus der Theorie der stochastischen Homogenisierung. Die Modellgleichungen stammen aus Anwendungen in Wissenschaft und Technik wie zum Beispiel Fluktuationen und Rauschen in Nanodraht-Sensoren, die Selektivität von Nanodraht-Gassensoren, das Design von zufällig strukturierten Materialien und von Metamaterialien und Ladungstransport in Graphen und Silizen. Für alle diese Anwendungen werden neue Simulationen entwickelt um quantitatives Verständnis bereitzustellen und Design auf Basis der Physik der Probleme zu ermöglichen. Die Schönheit der Mathematik besteht darin, dass unsere Resultate sehr abstrakt und daher für viele verschiedene Anwendungen relevant sind. Die numerische Methoden, die entwickelt werden, machen es möglich zu berechnen, was vorher nicht berechenbar war.

Technologischer Fortschritt ist oft durch Miniaturisierung gekennzeichnet, wofür Nanotechnologie ein prominentes Beispiel ist. Im START-Projekt "PDE-Modelle für die Nanotechnologie" wurden neue mathematische Verfahren und Computerprogramme entwickelt, um nanotechnologische Bauteile wie Sensoren und Transistoren zu designen und um so viel Information wie möglich aus Messungen zu extrahieren. In zwei Bereichen sind die Resultate diese Projekts die ersten weltweit, die wichtige Ziele in diesem Gebiet erreicht haben. Erstens sind Rauschen, Fluktuationen und Prozessvariationen im Nanometerbereich zunehmend wichtig, machen aber traditionelle Simulationstechniken unmöglich. Deshalb wurden neue Algorithmen entwickelt, um auf diese Herausforderungen einzugehen und Computersimulationen zu ermöglichen, die zuvor nicht möglich waren. Zweitens, um bessere Sensoren zu entwickeln und die Analyse der Daten zu verbessern, wurde gezeigt, dass Computersimulationen in Verbindung mit Methoden der Bayesschen Statistik als mathematische Lupe dienen können und es ermöglichen, Information zu extrahieren, die zuvor unerreichbar war. Ein führendes Beispiel einer realistischen Anwendung sind Feldeffektsensoren, die kleinste Konzentrationen von Biomolekülen wie Tumormarkern und DNA-Strängen detektieren können. Diese Kombination von Halbleitertechnologie und der biologischen Welt führt zu einer Reihe von Herausforderungen, was Modellierung und Simulation betrifft. Ladungstransport durch Nanometerstrukturen muss berechnet werden; Variationen während der Herstellung beeinflussen die Bauteile, das heißt, jeder Transistor und jeder Sensor ist auf Grund der inhärenten Zufälligkeiten in den Herstellungsprozessen verschieden; und es kommt zu Rauschen und Fluktuationen auf Grund Brownscher Bewegung und im Halbleiter. Je kleiner die Bauteile sind, desto wichtiger werden diese Effekte. Diese Aspekte resultieren auch in extrem rechenaufwändigen Simulationen. Um diese Probleme zu lösen, wurden neue mathematische Algorithmen entwickelt, die den Rechenaufwand um Größenordnungen reduzieren. Nachdem diese Computersimulationen entwickelt worden waren, stellten wir die Frage, wie viel aus den Sensormessungen und Simulationen gelernt werden kann. Wie genau kann die Anzahl von Biomolekülen in einem Sensor gemessen werden? Wie viel Information kann extrahiert werden und wie zuverlässig? Wie sich herausstellt, können diese Fragen durch Vergleich von Messungen und Simulationen beantwortet werden, was die Nützlichkeit der Computersimulationen vergrößert. Einfach gesagt ist eine gewisse Molekülkonzentration wahrscheinlich, wenn die Simulation für diese Konzentration gut mit der Messung übereinstimmt; andernfalls sie ist unwahrscheinlich. In Anbetracht all des Rauschens und der Fluktuationen können wir auf diese Art Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Molekülkonzentrationen berechnen und damit auch Konfidenzintervalle. Kleine Konfidenzintervalle bedeuten, dass ein Sensor sehr gut funktioniert. Durch diese Kombination von mathematischer Modellierung, Computersimulationen und Bayesscher Statistik haben wir es zum ersten Mal ermöglicht, so viel Information wie möglich aus Sensormessungen zu extrahieren. Dies unterstreicht die Wichtigkeit und Nützlichkeit der Theorie in der Interpretation von Messungen. Natürlich kann diese Vorgehensweise auch auf andere Sensortechnologien angewendet werden.