Dimer Algebren auf Flaechen und nicht noethersche Geometrie

Die algebraische Geometrie ist die Untersuchung bestimmter geometrischer Räume anhand der Funktionen, die auf diesen Räumen "leben". Ein Beispiel für einen solchen geometrischen Raum ist die Parabel, gegeben durch die Gleichung y = x^2. Die Parabel ist die Menge aller Punkte (x,y) in der Ebene, die, wenn sie in die Gleichung f(x,y) = y - x^2 eingesetzt werden, Null ergeben. Die Funktionen, die auf der Parabel liegen, sind daher alle Polynome g(x,y) in den Variablen x und y, so dass zwei beliebige solche Polynome als gleich definiert sind, wenn sie sich um ein Vielfaches von f(x,y) = y - x^2 unterscheiden. So sind z. B. die beiden Funktionen 5xy^4 + 8 und 5xy^4 + 8 + y - x^2 auf der Parabel gleich, weil sie an allen Punkten der Parabel gleiche Werte liefern. Die Menge aller solcher Funktionen wird als "Ring von Funktionen" des geometrischen Raums bezeichnet (das Wort "Ring" bedeutet, dass man die Funktionen addieren und multiplizieren kann). Es gibt jedoch einige ungewöhnliche Funktionsringe, von denen man lange glaubte, dass sie nicht der Ring der Funktionen eines geometrischen Raums sein können. In früheren Arbeiten habe ich herausgefunden, dass diese ungewöhnlichen Ringe entgegen dieser Annahme sehr wohl auf geometrischen Räumen existieren, aber die Räume sind recht seltsam: Man könnte zum Beispiel eine Fläche haben, die Kurven enthält, die einzelne Punkte sind. Das heißt, ein solcher Ring kann zu einem geometrischen Raum führen, der Kurven (z. B. Linien) enthält, die nicht aus einem Kontinuum von Punkten bestehen - sie bestehen nicht aus etwas Kleinerem -, sondern selbst eindimensionale Punkte sind. In meinem Projekt werde ich diese bizarre Geometrie, die so genannte "nonnoetherische Geometrie", untersuchen. Ich werde die nonnoetherische Geometrie in zwei verschiedenen Bereichen anwenden: - auf die Untersuchung bestimmter Strukturen, die sich aus speziellen Anordnungen von Pfeilen auf Oberflächen ergeben, wie z. B. Donuts mit vielen Löchern; und - auf das Problem der Vereinheitlichung von Gravitation und Quantentheorie. Eine alte Auffassung von Zeit, die von Aristoteles, Leibniz und anderen vertreten wird, besagt, dass Zeit nur dann vergeht, wenn sich etwas ändert. Ich habe herausgefunden, dass dieser Zeitbegriff mit Hilfe der nicht-noetherischen Geometrie in die Einsteinsche Gravitationstheorie integriert werden kann. Man betrachte eine Ansammlung von Elementarteilchen. Wenn eines der Teilchen nicht mit den anderen in Wechselwirkung steht, würde es keine Veränderung feststellen und somit auch nicht den Lauf der Zeit erleben. Folglich würde die Zeit nicht entlang der Bahn des Teilchens durch die Raumzeit, der so genannten "Weltlinie", fortschreiten. Mit anderen Worten: Die Weltlinie des Teilchens wäre ein einziger eindimensionaler Punkt, was genau der Art von Geometrie entspricht, die bei unseren ungewöhnlichen Ringen auftritt. In meinem Projekt möchte ich zeigen, wie diese Änderung der Raumzeit eine konkrete Erklärung für eine der rätselhaftesten Eigenschaften der Quantenmechanik liefert: die Quanten-Nichtlokalität. Quanten-Nichtlokalität entsteht zum Beispiel, wenn zwei Teilchen verschränkt werden und sich dadurch sofort gegenseitig beeinflussen können, unabhängig davon, wie weit sie voneinander entfernt sind. Schließlich möchte ich diese neue Raumzeitgeometrie nutzen, um bestimmte Strukturen zu erklären, die in der Teilchenphysik auftreten.

Im Mittelpunkt meines Projekts stand die Anwendung einer neuen Art von Geometrie, die ich zuvor vorgestellt hatte und bei der Punkte "verschmiert" werden können, sowohl auf die Raumzeitgeometrie als auch auf bestimmte algebraische Strukturen, die sich aus Flächen ergeben. In dieser Geometrie kann es Kurven wie Geraden oder Kreise oder Flächen wie Kugeln geben, die selbst einzelne Punkte sind. Diese "verschmierten" Punkte bestehen nicht aus kleineren (0-dimensionalen) Punkten, was zu überraschenden und ungewöhnlichen geometrischen Eigenschaften führt. Auf der physikalischen Seite habe ich diese neue Geometrie in die allgemeine Relativitätstheorie integriert, indem ich die Zeit entlang der Bahnen fundamentaler Teilchen durch die Raumzeit als stationär - oder eingefroren - betrachtet habe. Dadurch werden ihre Bahnen zu eindimensionalen Punkten. Das Ziel dieser Modifikation ist es, Quantenphänomene ausschließlich mithilfe der Raumzeitgeometrie zu beschreiben. Dies ist mir sowohl beim Spin als auch bei der Polarisation gelungen. Insbesondere sind Messungen von Spin und Polarisation in der Quantentheorie nicht eindeutig definiert (das sogenannte "Messproblem"), und ich habe gezeigt, dass solche Messungen in meinem Modell eindeutig definiert werden. Anschließend habe ich diese Geometrie zusammen mit Werkzeugen aus der allgemeinen Relativitätstheorie verwendet, um die Teilchen des Standardmodells, ihre Wechselwirkungen und die ungefähren Massen der Teilchen der ersten Generation - nämlich Elektronen, Elektron-Neutrinos, Up-Quarks und Down-Quarks - abzuleiten. Außerdem konnte ich bestimmte Eigenschaften des Lichts ableiten, beispielsweise was passiert, wenn Licht durch zwei Polarisatoren fällt, sowie was geschieht, wenn zwei Photonen oder Elektronen quantenverschränkt werden. Auf der mathematischen Seite wandte ich diese Geometrie auf bestimmte algebraische Strukturen an, die sich aus Flächen ergeben, die wie Donuts aussehen, jedoch eine beliebige Anzahl von Löchern aufweisen und von Polygonen, wie beispielsweise Dreiecken, bedeckt sind. Den Kanten dieser Polygone werden dann Variablen zugewiesen. Zusammengenommen ergeben diese Variablen Polynomfunktionen, die einen geometrischen Raum definieren (ähnlich wie y = x eine Parabel definiert). In meinem Projekt habe ich gezeigt, dass diese Räume zwangsläufig "verschmierte" Punkte enthalten. Außerdem habe ich gezeigt, dass die Dimension eines solchen Raums durch die Anzahl der Löcher in der donutartigen Fläche bestimmt wird. Zudem stellte ich fest, dass die verschmierten Punkte in engem Zusammenhang mit der Topologie der Fläche stehen (d.h. mit Eigenschaften der Fläche, die unabhängig von Abständen sind). Mein Projekt schlug somit eine neue Brücke zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematik, die zuvor noch nicht bekannt war (insbesondere zwischen Algebra, Darstellungstheorie, algebraischer Topologie und nicht-noetherischer algebraischer Geometrie), wobei die verschmierten Punkte eine wesentliche Rolle spielen.