Elliptische Probleme in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Das Ziel von Einsteins Relativitätstheorie ist ein Verständnis von Raumzeiten, die die Einsteingleichungen erfüllen. Mathematische Untersuchungen dieser Gleichungen sind dem Gebiet der globalen geometrischen Analysis zuzuordnen und führen zu einer Vielzahl schöner und anspruchsvoller Probleme für mathematische Analysten. Der kürzlich gelungene direkte Nachweis von Gravitationswellen macht es dringend notwendig, einen tieferen Einblick in verschiedene Aspekte dieser Theorie zu gewinnen. Eine Gruppe von Fragen betrifft die mathematisch strenge Konstruktion von Lösungen der Einstein- Gleichungen mit wichtigen physikalischen Eigenschaften, die erforderlich sind, um die numerischen Simulationen rechtfertigen, die verwendet werden, um die Gravitationswellensignale zu interpretieren. Ein weiteres Problem ist ein gründliches Verständnis der Natur und der Eigenschaften der Lösungen, die schwarze Löcher beschreiben. Tatsächlich stammt die im September 2015 beobachtete Gravitationswelle von einem System von zwei einander umkreisenden schwarzen Löchern, die letztlich kollidierten, und das gab uns den ersten Beweis der Existenz von Systemen im Universum aus mehreren schwarzen Löchern. Nach einer hochdynamischen und extrem heftigen Phase, in der in Form von Gravitationswellen in einem Bruchteil einer Sekunde das Energie-Äquivalent, das bei totaler Vernichtung von drei Sonnenmassen entsteht, abgestrahlt wurde, war ein stationäres schwarzes Loch geblieben. Eine rigorose Klassifikation von stationären solchen Lösungen ist ein weiterer Schlüssel für eine korrekte Interpretation der von den Detektoren gemessenen Signale. Das Ziel dieses Projektes ist es, die oben genannten Probleme mathematisch-rigoros zu lösen. Dies wird durch die Verwendung von Methoden der mathematischen Theorie der "elliptischen partiellen Differentialgleichungen" getan. Die neuen Techniken, die vor kurzem in der Theorie der elliptischen Gleichungen eingefürt worden sind, werden das ermöglichen.

Die Energie ist eine der fundamentalen Größen in der Physik. Energieaustausch ist das, was Autos mobil macht, Wohnungen warm macht, oder Mobiltelefone miteinander kommunizieren lässt. Ein richtiges Verständnis von Energie ist daher eine der grundlegenden Einsichten in jeder physikalischen Theorie. Es muss zugegeben werden, dass wir den Begriff der Energie in der Allgemeinen Relativitätstheorie immer noch nicht gut verstehen. Dies steht in engem Zusammenhang mit dem Grundprinzip der Allgemeinen Relativitätstheorie, dass der freie Fall die Gravitationskräfte abschaltet. Infolgedessen bleibt eine lokale Vorstellung der Energie des Gravitationsfeldes schwer fassbar. Glücklicherweise haben wir trotzdem eine gute Vorstellung der Gesamtenergie isolierter Gravitationssysteme. Eine der Schlüsselfragen in diesem Zusammenhang ist, ob diese Gesamtenergie von unten beschraenkt ist oder nicht. Das wichtigste Ergebnis in diesem Projekt ist der Beweis, dass die Gesamtenergie für gravitierende Systeme mit einer bestimmten Eigenschaft, nämlich "sphärische konforme Unendlichkeit", positiv ist. Verschiedene Teilergebnisse in diesem Sinne waren bereits bekannt, aber in unserer Arbeit wurde zum ersten Mal ein vollständiger Beweis ohne einschränkende Annahmen erbracht. Etwas überraschend haben wir auch gezeigt, dass es eine große Klasse von gravitierenden Systemen gibt die negative Energie haben, nämlich solche, die eine "komplizierte Topologie im Unendlichen" haben. Solche Systeme mit negativer Energie waren bisher nicht bekannt. Dieser Teil unserer Studie liefert eine weitere Illustration verschiedener Feinheiten, die entstehen, wenn Gravitationsfelder vorhanden sind.