Zeit-Frequenz Methoden jenseits des algebraischen Kontextes

In der Zeit-Frequenz Analyse wird ein Signal gleichzeitig im Zeitbereich und Frequenzbereich untersucht. Zum Beispiel werden eindimensionale Daten durch zweidimensionale Darstellungen, wie das Spektrogramm, untersucht. Das Spektrogramm zeigt wie sich die Eigenschaften der Daten mit der Zeit verändern. Zeit-frequenz Analyse ist ein Großer Forschungbereich, der mit reiner und angewandter Mathematik zusammenhängt. Die Anwendungen inkludieren, unter anderem, Audio-Verarbeitung, wireless communications, Statistik und Datenanalyse. Trotzdem sind viele der aktuellen Zeit-Frequenz Methoden ziemlich limitiert, weil sie nur im algebraischen Kontext funktionieren und sie nicht genug quantitativ sind. Das Projekt versucht manche von diesen Umständen zu lösen, indem flexibeler Methoden entwickelt werden. Konkrete Probleme die untersucht werden, inkludieren die Optimierung von Spektrogrammen in einem bestimmten Zeit-Frequenz Bereich. Quantitative und rechenbetonte Aspekte werden besonders unterstrichen. Damit wird die Leistung mancher Verfahren der Statistik und Datenanalyse erforscht.

Das Ziel der Zeit-Frequenz-Analyse ist es, Signale mit Hilfe einer Darstellung, Spektrogramm genannt, zu untersuchen, die zeigt, wie sich Schwingungsmuster mit der Zeit entwickeln, ähnlich wie bei einer Musikpartitur. Dieser abstrakte Rahmen gilt für eine Vielzahl praktischer Situationen, und die Stärke der mathematischen Theorie liegt genau darin, dass sie einen einheitlichen Weg bietet, alle diese Kontexte zu behandeln. Beispielsweise ist die Zeit-Frequenz-Analyse das Herzstück der Audioverarbeitung und der drahtlosen Kommunikation und auch die Sprache der Quantenphysik. Daher findet die Zeit-Frequenz-Analyse die unterschiedlichsten Anwendungen, einschließlich Statistik und Datenanalyse. Das Projekt trug dazu bei, die Anwendbarkeit bestimmter grundlegender Werkzeuge in der Zeit-Frequenz-Analyse zu erweitern, die zuvor durch die Art der mathematischen Methoden, auf die sie sich stützten, eingeschränkt waren. Beispielsweise betrachtet die traditionelle Sampling-Theorie die Rekonstruktion eines Signals aus in regelmäßigen Abständen entnommenen Werten (Samples). Die genauesten mathematischen Werkzeuge zur Untersuchung der Stichprobenentnahme betreffen einheitliche Stichprobenstrategien, bei denen Stichproben in regelmäßigen, vorhersagbaren Intervallen genommen werden. Im Gegensatz dazu entwickelte dieses Projekt eine Theorie, die unregelmäßige Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Abtastungen zulässt, wodurch große Informationslücken durch nachfolgende Abtastungen mit einer höheren Rate ausgeglichen werden können. Ein weiterer Schwerpunkt des Projekts war der Einfluss von Sampling-Geometrien auf die praktische Leistungsfähigkeit von Rekonstruktionsalgorithmen. Darüber hinaus trug das Projekt zur Extraktion nützlicher Merkmale aus Spektrogrammdarstellungen bei, indem es die Formen untersuchte, die Spektrogramme annehmen können, und diese Erkenntnisse in Anwendungen nutzte.