Trefftz Approximation zeitharmonischer Wellenprobleme

Die Ausbreitung zeitharmonischer Wellen spielt in vielen ökologischen und ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen eine wichtige Rolle, z.B. in der Akustik, Optik, Hydrodynamik, Elektrotechnik, medizinischen Bildgebung, Geophysik, Seismologie oder Bautechnik. Bei ihrer numerischen Simulation treten aufgrund des oszillativen Verhaltens analytischer Lösungen intrinsische Schwierigkeiten auf. Ziel dieses Projekts ist die Entwicklung präziser und recheneffizienter Methoden für die Simulation der Ausbreitung von akustischen und elektromagnetischen zeitharmonischen Wellen. Die Finite-Elemente-Methode ist die bekannteste Technik für die numerische Approximation von Problemen, die durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden. Ihre ursprüngliche Form basiert auf der Idee Funktionen stückweise durch Polynome zu approximieren. Da bei zeitharmonischen Wellen starke Oszillationen in den Lösungen auftreten, ist der Rechenaufwand für präzise Approximationen untragbar. Die Finite-Elemente-Methode, die in diesem Projekt untersucht wird, verwendet an Stelle von Polynomen approximierende Funktionen, die vom Problem abhängen (Trefftz Funktionen). Insbesondere oszillieren diese Funktionen mit einer Frequenz, die durch das ursprüngliche Problem gegeben ist. Durch das lokale Reproduzieren des Verhaltens analytischer Lösungen ermöglichen es diese Methoden eine vorgegebene Genauigkeit mit geringerem Rechenaufwand als bei herkömmlichen Polynom-basierten Finite-Elemente-Methoden zu erzielen. Treffth-Methoden stellen den aktuellen Stand der Forschung im Bereich numerischer Approximation von Wellenproblemen dar. Die Entwicklung numerischer Techniken mit verbesserter Leistung, worauf dieses Projekt abzielt, kann Auswirkungen auf simulationsbasierte Aktivitäten in Wissenschaft und Technik haben, bei denen "virtuelle" Tests als Ergänzung, wenn auch nicht als Ersatz, zu kostspieligen Experimenten von großer Wichtigkeit sind.

In diesem Projekt ging es um das Design und die theoretische Analyse numerischer Methoden zur Approximation von Problemen der zeitharmonischen Wellenausbreitung. Solche Probleme tauchen in vielen Anwendungen aus der Natur und Technik auf (z.B. Akustik, Optik, Hydrodynamik, Elektrotechnik, Medizinische Bildgebung, Geophysik, Seismologie, Bautechnik), und ihre numerische Approximation ist notorisch anspruchsvoll. Tatsächlich liefern Standardmethoden nur unter hohem Rechenaufwand akkurate Lösungen. Dies liegt mitunter an der oszillierenden Natur der analytischen Lösungen dieser Problemklasse. Aus diesem Grund liegt der Fokus dieses Projekts auf Finite-Elemente-Methoden basierend auf Approximationsräumen vom Trefftz-Typ. Mit anderen Worten auf Räumen von Funktionen, deren Einschränkung auf jedes Netzelement im Kern des zugrundeliegenden Differentialoperators liegt. Die Fähigkeit, lokal das Verhalten der analytischen Lösung zu reproduzieren, erlaubt diesen Methoden eine hohe Genauigkeit bei einer geringen Anzahl an Freiheitsgraden zu erreichen. Insbesondere im Vergleich zu Standard Finite-Element-Methoden basierend auf Polynomfunktionen. Gedämpft wird dieser Vorteil durch das Fehlen von Werkzeugen zur effizienten numerischen Behandlung. Wir haben Trefftz-Methoden in Kombination mit zwei unterschiedlichen methodischen Rahmen untersucht: dem discontinuous Galerkin Setting, in welchem von den approximierenden Funktionen keine Stetigkeit über Elementgrenzen hinweg gefordert wird, und die Kombination mit der Virtual-Element Methode. Diese stellt eine Verallgemeinerung der Finite Element Methode auf Gitter aus beliebigen Polytopen dar, wobei die Basisfunktionen nicht in geschlossener Form bekannt sind (deshalb der Name "Virtual"). Insbesondere haben wir numerische Werkzeuge, z.B. adaptive Netzverfeinerungsstrategien, entwickelt um die Effizienz der bereits etablierteren Trefftz-discontinuous Galerkin Methode zu steigern, und haben eine neue Trefftz-Virtual-Element-Methode eingeführt. Die Relevanz dieser neuen Methode ist zweierlei: Einerseits hat sich gezeigt, dass die Virtual-Element-Methodik über das bekannte Paradigma aus Polynomfunktionen hinaus erweitern lässt und dass es auch mit Problem-angepassten virtuelle Räumen harmoniert. Zweitens wurde gezeigt, dass es durch Kombination eines passenden variationellen Settings und zugehöriger numerischer Behandlung möglich ist, die Effizienz von Trefftz-Methoden signifikant zu steigern und ihren Anwendungsbereich zu erweitern. Weitere Ergebnisse dieses Projekts beinhalten das Design einer Kopplung von Finiten-Element- und Randelementmethoden für zeitharmonische akustische Streuprobleme in heterogenen Medien und die Untersuchung von Methoden der Modellordnungsreduktion basierend auf rationaler Interpolation für Frequenz-parametrisierte Wellenausbreitungsprobleme.