Unendlich dimensionale Gruppen und harmonische Analysis auf G-Räumen

Vor kurzem gab es einigen Fortschritt in der Darstellungstheorie von unendlichdimensionalen klassischen Gruppen und symmetrischen Gruppen: Dies betraf geometrische und kombinatorische Beschreibungen der Doppelnebenklassen bezüglich kleiner Untergruppen und Train-Konstruktionen (das sind Darstellungen von Kategorien, welche unendlichdimensionale Gruppen umfassen). Die neuen Ziele dieses Projektes sind die folgenden: 1) Weitere Untersuchungen der Kategorien von Doppelnebenklassen von unendlichdimensionalen Gruppen und von Gruppen von unendlichen Matrizen über endlichen Körpern. 2) Die Suche nach projektiven Systemen von Maszen auf homogenen Räumen, um neue Möglichkeiten fuer die harmonische Analysis fuer unendlichdimensionale Gruppen zu erschliessen. 3) Die Untersuchung von Darstellungen der Diffeomorphismengruppe des Kreises, die durch fraktionelle Diffusion induziert sind. Die Untersuchung von Darstellungen und sphärischen Funktionen des kombinatorischen Analogens dieser Gruppe.

Die Hauptresultate des Projekts sind: - Konstruktion eines Operatorkalküls für die Fouriertransformation auf der Gruppe der Matrizen der Ordnung 2. - Explizite Spektralzerlegung für unitäre Operatoren die von allgemeinen maßerhaltenden Transformationen induziert werden. - Die Lösung des Gelfand-Gindikin Problems über die Trennung von Spektren am Raum $L^2$ auf einer pseudo-unitären Gruppe. - Untersuchung der Einschränkungen auf kleinere Untergruppen von Darstellungen einer allgemeinen linearen Gruppe, und die Konstruktion der Wirkung der grossen Lie Algebra durch Differential-Differenzen-Operatoren. -Gemeinsame Spektralzerlegung eines PAars von kummierenden hypergeometrischen Operatoren auf der koplexen Ebene. - Klassifikation aller unitären Darstellungen der Gruppe der p-adischen unendlichen ganzzahligen Matrizen. - Untersuchungen der sphärischen Darstellungen der Gruppen der Sphäromorphismen von Bruhat-Tits Bäumen.