Enden, Gruppenaktionen und Irrfahrten

Dieses Forschungsprogramm befasst sich mit drei Aspekten von Rändern in unendlichen Graphen. Ein Schwerpunkt sind nicht lokalendliche Graphen, beziehungsweise unendlich erzeugte Gruppen. 1. Strukturelle Graphentheorie. Es werden Zusammenhänge zwischen b- und d-Fasern (im Sinne von Jung) und metrischen Enden diskutiert. Resultate von Halin über periodische Linien sollen für den nicht lokalendlichen Fall verallgemeinert werden. Wir interessieren uns für topologische Eigenschaften von Endenkompaktifizierungen. Kriterien für Quasiisometrie zwischen Graphen und Bäumen sind rein graphentheoretischer Natur, doch sie haben auch eine Bedeutung für gruppentheoretische Fragestellungen. 2. Gruppentheorie. Eine endliche Gruppe ist genau dann virtuell frei, wenn sie einen endlich erzeugten Cayleygraphen besitzt, der quasiisometrisch zu einem Baum ist (Gromov, Woess). Wir wollen Verallgemeinerungen dieses Satzes für unendlich erzeugte Gruppen finden. 3. Irrfahrten und Potentialtheorie. In wie weit kann das Dirichlet Problem am metrischen Endenrand eines Graphen oder am Rand der abzählbar unendlich erzeugten freien Gruppe gelöst werde? Wir hoffen Konstruktionen von probabilistischen Enden finden zu können, mit deren Hilfe wir den martinschen Rand einer bestimmten Klasse von irreduziblen aber nicht gleichmäßig irreduziblen Irrfahrten beschreiben können. Außerdem soll der martinsche Rand eines bestimmten Typs von Ge- bäuden bestimmt werden.