Contractions: Extensions, Isometries, and Projections

Wir beschäftigen uns mit drei Problemkreisen. In allen treten, manchmal offensichtlich, manchmal verborgen, verschiedene Fragen über Erweiterung von lipschitzstetigen Abbildungen auf. Nach dem Satz von Kirszbraun, besitzt jede kurze (d.h.kontraktive) Abbildung einer Untermenge eines Hilbertraumes in den selben Raum eine kurze Erweiterung auf den ganzen Raum. Wir untersuchen wann es einen stetigen Operator gibt, der jeder Kontraktion eine kontraktive Erweiterung zuordnet. Eine Anwendung ist die Approximation von Kontraktionen durch Isometrien, was zu unserem nächstem Thema, den Isometrien führt. Brehm konstruierte für jede kurze Abbildung einer endlichen Untermenge eines Euklidischen Raumes eine Parkettierung des Raumes durch endlich viele konvexe Mengen und eine kontraktive Erweiterung der Abbildung, die auf jeder der konvexen Mengen isometrisch ist. Wir behandeln die Frage, wie häufig die Abbildungen, deren Ableitung fast überall eine Isometrie ist, unter den Kontraktionen vorkommen. Laut einem Satz von Freudenthal und Hurewicz ist jede Dehnung eines kompakten Raumes in sich immer isometrisch. Wir untersuchen, in welchen Räumen diese Kompensation von Dehnungen und Verkürzungen auftritt. Der dritte Problemkreis betrifft Projektionen im Hilbertraum, d.h. Abbildungen auf den nächstgelegen Punkt in abgeschlossenen Teilräumen, oder allgemeiner, in abgeschlossenen konvexen Teilmengen. Wir behandeln die Frage, wann Interaktionen endlich vieler solcher Projektionen konvergieren. Wenn nur zwei Unterräume vorkommen, hat J. von Neumann die Konvergenz bestätigt. Wir zeigen den Zusammenhang dieses allgemeinen Problems mit einer merkwürdigen Frage über die Existenz Tietze-ähnlicher Potentiale mit einer lipschitzstetigen Ableitung als weitere Forschungsrichtung auf.